Zobecněný kvantifikátor - Generalized quantifier

v jazykové sémantika, a zobecněný kvantifikátor (GQ) je výraz, který označuje a sada sad. Toto je standardní sémantika přiřazená vyčísleno podstatné jméno fráze. Například zobecněný kvantifikátor každý chlapec označuje množinu sad, jejichž členem je každý chlapec:

{displaystyle {X, |, forall x (x {ext {is a boy}} o xin X)}}

Toto zacházení s kvantifikátory bylo zásadní pro dosažení a kompoziční sémantika pro věty obsahující kvantifikátory.^[1]^[2]

Teorie typů

Verze teorie typů se často používá k explicitní sémantice různých druhů výrazů. Standardní konstrukce definuje sadu typů rekurzivně jak následuje:

E a t jsou typy.
Li A a b jsou oba typy, tak je ${displaystyle langle a, bangle}$
Nic není typ, kromě toho, co lze zkonstruovat na základě řádků 1 a 2 výše.

Vzhledem k této definici máme jednoduché typy E a t, ale také a počitatelný nekonečno složitých typů, z nichž některé zahrnují:

{displaystyle langle e, tangle; qquad langle t, tangle; qquad langle langle e, tangle, tangle; qquad langle e, langle e, tangle angle; qquad langle langle e, tangle, langle langle e, tangle, tangle angle; qquad ldots }

Výrazy typu E označují prvky vesmír diskurzu, soubor entit, o nichž je diskurz. Tato sada je obvykle psána jako ${displaystyle D_ {e}}$ . Příklady typu E výrazy zahrnují John a on.
Výrazy typu t označit a pravdivostní hodnota, obvykle vykreslený jako sada ${displaystyle {0,1}}$ , kde 0 znamená „false“ a 1 znamená „true“. Příklady výrazů, o kterých se někdy říká, že jsou typu t jsou věty nebo propozice.
Výrazy typu ${displaystyle langle e, tangle}$ označit funkce od množiny entit k množině hodnot pravdy. Tato sada funkcí je vykreslena jako ${displaystyle D_ {t} ^ {D_ {e}}}$ . Takové funkce jsou charakteristické funkce z sady. Mapují každého jednotlivce, který je prvkem množiny, na „true“ a vše ostatní na „false“. Je běžné říkat, že označují sady spíše než charakteristické funkce, ačkoli, přísně vzato, druhá je přesnější. Příklady výrazů tohoto typu jsou predikáty, podstatná jména a některé druhy přídavná jména.
Obecně platí, že výrazy komplexních typů ${displaystyle langle a, bangle}$ označují funkce ze sady entit typu ${displaystyle a}$ na množinu entit typu ${displaystyle b}$ , konstrukt, který můžeme napsat následovně: ${displaystyle D_ {b} ^ {D_ {a}}}$ .

Nyní můžeme slovům v naší větě výše přiřadit typy (Každý chlapec spí) typy následovně.

- Typ (chlapec) = ${displaystyle langle e, tangle}$
- Typ (spí) = ${displaystyle langle e, tangle}$
- Typ (každý) = ${displaystyle langle langle e, tangle, langle langle e, tangle, tangle angle}$

Každý tedy označuje funkci z a soubor na funkci ze sady na hodnotu pravdy. Jinak řečeno, označuje funkci od množiny po množinu množin. Je to ta funkce, která pro libovolné dvě sady A, B, každý(A)(B) = 1 právě tehdy ${displaystyle Asubseteq B}$ .

Zadaný počet lambda

Užitečným způsobem psaní složitých funkcí je lambda kalkul. Například lze napsat význam spí jako následující výraz lambda, což je funkce od jednotlivce X k návrhu, že x spí.

{displaystyle lambda x.sleep '(x)}

Takové termíny lambda jsou funkce, jejichž doménou je období, které předchází období, a jejichž rozsah je typem věci, která následuje po období. Li X je proměnná, která sahá přes prvky ${displaystyle D_ {e}}$ , pak následující lambda výraz označuje funkce identity na jednotlivcích:

{displaystyle lambda x.x}

Nyní můžeme napsat význam každý s následujícím výrazem lambda, kde X, Y jsou proměnné typu ${displaystyle langle e, tangle}$ :

{displaystyle lambda X.lambda Y.Xsubseteq Y}

Pokud zkrátíme význam chlapec a spí tak jako "B" a "S", respektive, máme tu větu každý chlapec spí nyní znamená následující:

{displaystyle (lambda X.lambda Y.Xsubseteq Y) (B) (S)}

— β-redukce

{displaystyle (lambda Y.Bsubseteq Y) (S)}

- β-redukce

{displaystyle Bsubseteq S}

Výraz každý je určující. V kombinaci s a podstatné jméno, dává zobecněný kvantifikátor typu ${displaystyle langle langle e, tangle, tangle}$ .

Vlastnosti

Monotónnost

Monotónní zvýšení GQ

A zobecněný kvantifikátor GQ se říká, že je monotónní zvýšení, také zvaný směřující nahoru, jen pro případ, pro jakékoli dvě sady X a Y platí:

-li

{displaystyle Xsubseteq Y}

, pak GQ (X) znamená GQ (Y).

GQ každý chlapec se monotónně zvyšuje. Například soubor věcí, které běžet rychle je podmnožinou souboru věcí, které běh. Proto první věta níže znamená druhý:

Každý chlapec běží rychle.
Každý chlapec běží.

Monotónní snižování GQ

GQ se říká, že je monotónní klesá, také zvaný směrem dolů s sebou jen pro případ, pro jakékoli dvě sady X a Y, platí:

Li

{displaystyle Xsubseteq Y}

, pak GQ (Y) znamená GQ (X).

Příkladem monotónního snižování GQ je žádný chlapec. Pro toto GQ máme, že první věta níže znamená druhou.

Žádný chlapec neběží.
Žádný chlapec neběží rychle.

Lambda výraz pro určující Ne je následující. Říká se, že obě sady mají prázdnou průsečík.

{displaystyle lambda X.lambda Y.Xcap Y = emptyset}

Monotónní klesající GQ patří mezi výrazy, které mohou licencovat a položka se zápornou polaritou, jako žádný. Monotónní zvýšení GQ nelicencuje položky se zápornou polaritou.

Dobrý: Žádný chlapec ne žádný peníze.
Špatné: * Každý chlapec má žádný peníze.

Non-monotónní GQ

GQ se říká, že je ne monotónní pokud není monotónní rostoucí ani monotónní klesající. Příkladem takového GQ je přesně tři chlapci. Ani jedna z následujících dvou vět neznamená druhou.

Přesně tři studenti utekli.
Přesně tři studenti utekli rychle.

První věta neznamená druhou. Skutečnost, že počet studentů, kteří se zúčastnili, jsou přesně tři, neznamená, že každý z těchto studentů běžel rychle, takže počet studentů, kteří to udělali, může být menší než 3. Druhá věta naopak neznamená první. Věta přesně tři studenti utekli rychle může být pravda, i když počet studentů, kteří pouze běhali (tj. ne tak rychle), je větší než 3.

Termín lambda pro (komplex) určující přesně tři je následující. Říká se, že mohutnost z průsečík mezi dvěma sadami se rovná 3.

{displaystyle lambda X.lambda Y. | Xcap Y | = 3}

Konzervativnost

Říká se, že determinátor D. konzervativní pokud platí tato rovnocennost:

{displaystyle D (A) (B) šipka vlevo D (A) (Acap B)}

Například následující dvě věty jsou ekvivalentní.

Každý chlapec spí.
Každý chlapec je chlapec, který spí.

Bylo navrženo, že Všechno determinanty přirozeného jazyka (tj. v každém jazyce) jsou konzervativní (Barwise a Cooper 1981). Výraz pouze není konzervativní. Následující dvě věty nejsou ekvivalentní. Ve skutečnosti to ale není běžné analyzovat pouze jako určující. Spíše se standardně považuje za citlivé na zaostření příslovce.

Jen chlapci spí.
Pouze chlapci jsou chlapci, kteří spí.

Viz také

Reference

^ Montague, Richarde: 1974, 'Správné zacházení s kvantifikací v angličtině ', in R. Montague, Formal Philosophy, ed. R. Thomason (New Haven).
^ Barwise, Jon a Robin Cooper. 1981. Zobecněné kvantifikátory a přirozený jazyk. Lingvistika a filozofie 4: 159-219.

Další čtení

Stanley Peters; Dag Westerståhl (2006). Kvantifikátory v jazyce a logice. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-929125-0.
Antonio Badia (2009). Kvantifikátory v akci: Zobecněná kvantifikace v dotazovacích, logických a přirozených jazycích. Springer. ISBN 978-0-387-09563-9.

externí odkazy

Dag Westerståhl, 2011. “Zobecněné kvantifikátory '. Stanfordská encyklopedie filozofie.

[1] Montague, Richarde: 1974, 'Správné zacházení s kvantifikací v angličtině ', in R. Montague, Formal Philosophy, ed. R. Thomason (New Haven).

[2] Barwise, Jon a Robin Cooper. 1981. Zobecněné kvantifikátory a přirozený jazyk. Lingvistika a filozofie 4: 159-219.

[1]

[2]