Gaussova nerovnost nerovnosti - Gaussian correlation inequality

Gaussova nerovnost korelace uvádí, že pravděpodobnost zasažení šipkou je jak kruh, tak obdélník, je větší nebo rovna součinu jednotlivých pravděpodobností zasažení kruhu nebo obdélníku.

The Gaussova nerovnost nerovnosti (GCI), dříve známý jako Gaussova korelační domněnka (GCC), je matematická věta v polích matematická statistika a konvexní geometrie. Zvláštní případ nerovnosti byl publikován jako domněnka v příspěvku z roku 1955;[1] další vývoj byl dán Olive Jean Dunn v roce 1958.[2][3] Obecný případ byl uveden v roce 1972, rovněž jako domněnka.[4]

Nerovnost zůstala neprokázaná až do roku 2014, kdy Thomas Royen, německý statistik, to dokázal pomocí relativně elementárních nástrojů. Důkaz nebyl obecně znám, když byl zveřejněn v roce 2014, kvůli Royenově relativní anonymitě a proto, že byl zveřejněn v dravý deník.[5][6] Dalším důvodem byly četné marné pokusy to dokázat, což vyvolalo u matematiků v oboru skepsu.[2]

Domněnka a její řešení se dostaly do pozornosti veřejnosti v roce 2017, kdy byly v mainstreamových médiích zveřejněny zprávy o Royenově důkazu.[2][7][8]

Problém

Gaussova korelační nerovnost uvádí:

Nechat být n-dimenzionální Gaussova míra pravděpodobnosti na , tj. A vícerozměrné normální rozdělení, se středem na počátek. Pak pro všechny konvexní sady to jsou symetrické o původu,

Jako jednoduchý příklad lze uvažovat o šipkách v rovině distribuovaných podle vícerozměrného normálního rozdělení. Pokud uvažujeme kruh a obdélník, oba se středem v počátcích, pak podíl šipek přistávajících v průsečíku obou tvarů není menší než součin poměrů šipek přistávajících v každém tvaru.

Royenův důkaz domněnky zevšeobecňuje, stejně jako prokazuje stejné tvrzení pro gama distribuce.

Reference

  1. ^ Dunnett, C. W .; Sobel, M. Aproximace pravděpodobného integrálu a určité procentní body vícerozměrného analogu Studentova t-distribuce. Biometrika 42, (1955). 258–260.
  2. ^ A b C Wolchover, Natalie (28. března 2017). „Dlouho hledaný důkaz, nalezen a téměř ztracen“. Časopis QUANTA. Citováno 4. dubna 2017.
  3. ^ Schechtman, G .; Schlumprecht, T .; Zinn, J. Na Gaussově míře křižovatky. The Annals of Probability, sv. 26, č. 1, 346–357, 1998.
  4. ^ Das Gupta, S .; Eaton, M. L .; Olkin, I .; Perlman, M .; Savage, L. J .; Sobel, M. Nerovnosti o obsahu pravděpodobnosti konvexních oblastí pro elipticky tvarovaná rozdělení. Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability (Univ. California, Berkeley, CA, 1970/1971), sv. II: Teorie pravděpodobnosti, s. 241–265. Univ. California Press, Berkeley, Kalifornie, 1972.
  5. ^ „Vydavatelství Pushpa“. www.pphmj.com. Citováno 4. července 2017.
  6. ^ Royen, T. (5. srpna 2014). "Jednoduchý důkaz Gaussovy korelační domněnky rozšířené na vícerozměrné rozdělení gama". arXiv:1408.1028 [math.PR ].
  7. ^ Farand, Chloe (03.04.2017). „Muž v důchodu řeší jeden z nejtěžších matematických problémů na světě a nikdo si toho nevšimne“. Nezávislý. Citováno 2017-04-04.
  8. ^ Dambeck, Holger (04.04.2017). „Erfolg mit 67 Jahren: Der Wunderopa der Mathematik“. SPIEGEL ONLINE. Citováno 2017-04-04.

Všeobecné

  • Thomas Royen „Jednoduchý důkaz Gaussovy korelační domněnky rozšířený na vícerozměrné gama rozdělení“, arXiv:1408.1028
  • Rafał Latała, Dariusz Matlak, „Royenův důkaz nerovnosti Gaussovy korelace“, arXiv:1512.08776

externí odkazy