Gamowův faktor - Gamow factor

The Gamowův faktor nebo Gamow – Sommerfeldův faktor,^[1] pojmenoval podle svého objevitele George Gamow, je faktor pravděpodobnosti šance dvou jaderných částic na překonání Coulombova bariéra aby mohl podstoupit jaderné reakce, například v jaderná fůze. Podle klasická fyzika, téměř neexistuje možnost, aby se protony spojily vzájemným překřížením Coulombovy bariéry při teplotách, které obvykle způsobují fúzi, jako jsou teploty nalezené v slunce. Když místo toho aplikoval George Gamow kvantová mechanika k problému zjistil, že kvůli fúzi existuje značná šance na fúzi tunelování.

Pravděpodobnost, že dvě jaderné částice překonají své elektrostatické bariéry, je dána následující rovnicí:

${displaystyle P_ {g} (E) = e ^ {- {sqrt {frac {E_ {g}} {E}}}}}$^[2]

kde ${displaystyle E_ {g}}$ je Gamowova energie,

${displaystyle E_ {g} equiv 2m_ {r} c ^ {2} (pi alpha Z_ {a} Z_ {b}) ^ {2}}$

Tady, ${displaystyle m_ {r} = {frac {m_ {a} m_ {b}} {m_ {a} + m_ {b}}}}$ je snížená hmotnost dvou částic. Konstanta ${displaystyle alpha}$ je konstanta jemné struktury, ${displaystyle c}$ je rychlost světla, a ${displaystyle Z_ {a}}$ a ${displaystyle Z_ {b}}$ jsou příslušné atomová čísla každé částice.

Zatímco pravděpodobnost překonání Coulombovy bariéry rychle roste se zvyšující se energií částic, pro danou teplotu pravděpodobnost částice, která má takovou energii, velmi rychle klesá, jak popisuje Maxwell – Boltzmannova distribuce. Gamow zjistil, že dohromady tyto účinky znamenají, že pro každou danou teplotu jsou částice, které fúzují, většinou v teplotně závislém úzkém rozsahu energií známých jako Okno Gamow.

Derivace

Gamow^[3] nejprve vyřešil jednorozměrný případ kvantové tunelování pomocí aproximace WKB. Vzhledem k vlnové funkci částice hmoty m, oblast 1 považujeme za místo, kde je emitována vlna, oblast 2 za potenciální bariéru, která má výšku PROTI a šířka l (v ${displaystyle 0$) a oblast 3 na druhé straně, kde vlna přichází, částečně přenášená a částečně odrážená. Pro číslo vlny k a energie E dostaneme:

${displaystyle Psi _ {1} = Ae ^ {i (kx + alpha)} e ^ {- i {frac {E} {hbar}} t}}$

${displaystyle Psi _ {2} = B_ {1} e ^ {- k'x} + B_ {2} e ^ {k'x}}$

${displaystyle Psi _ {3} = (C_ {1} e ^ {- i (kx + eta)} + C_ {2} e ^ {i (kx + eta ')}) e ^ {- i {frac {E} { hbar}} t}}$

kde ${displaystyle k = {sqrt {2mE}}}$ a ${displaystyle k '= {sqrt {2m (V-E)}}}$.To je vyřešeno pro dané A a α stanovením okrajových podmínek na obou hranách bariéry v ${displaystyle x = 0}$ a ${displaystyle x = l}$, kde oba ${displaystyle Psi}$ a jeho derivát musí být na obou stranách stejný ${displaystyle k'lgg 1}$, to lze snadno vyřešit ignorováním časové exponenciality a uvažováním samotné reálné části (imaginární část má stejné chování). Dostaneme až faktory závislé na fázích, které jsou obvykle řádu 1, a až faktory řádu ${displaystyle {frac {k} {k '}} = {sqrt {frac {E} {V-E}}}}$ (předpokládá se, že není příliš velký, protože PROTI je větší než E ne okrajově):

${displaystyle B_ {1}, B_ {2} přibližně A}$

${displaystyle C_ {1}, C_ {2} přibližně {frac {1} {2}} Acdot {frac {k '} {k}} cdot e ^ {k'l}}$

Dále Gamow modeloval rozpad alfa jako symetrický jednorozměrný problém se stojatou vlnou mezi dvěma symetrickými potenciálními bariérami na ${displaystyle q_ {0}$ a ${displaystyle - (q_ {0} + l)$a emitující vlny na obou vnějších stranách bariér. Řešení tohoto problému lze v zásadě provést řešením prvního problému a jeho překládáním ${displaystyle q_ {0}}$ a přilepení na stejné řešení, které se odráží kolem ${displaystyle x = 0}$.

Kvůli symetrii problému musí mít vysílací vlny na obou stranách stejné amplitudy (A), ale jejich fáze (α) se mohou lišit. To dává jeden parametr navíc; slepení obou řešení v ${displaystyle x = 0}$ vyžaduje dvě okrajové podmínky (jak pro vlnovou funkci, tak pro její derivaci), takže obecně neexistuje řešení. Zejména přepis ${displaystyle Psi _ {3}}$ (po překladu ${displaystyle q_ {0}}$) jako součet kosinu a sinusu ${displaystyle kx}$, z nichž každý má jiný faktor, na kterém závisí k a α, faktor sinusu musí zmizet, aby bylo možné roztok přilepit symetricky k jeho odrazu. Jelikož je faktor obecně složitý (tudíž jeho mizení ukládá dvě omezení představující dvě okrajové podmínky), lze to obecně vyřešit přidáním imaginární části k, což dává potřebný další parametr. Tím pádem E bude mít také imaginární část.

Fyzikální význam toho je, že stojatá vlna uprostřed se rozpadá; nově emitované emitované vlny mají proto menší amplitudy, takže se jejich amplituda časem rozpadá, ale roste se vzdáleností. Konstanta rozpadu, označená λ, se předpokládá malý ve srovnání s ${displaystyle E / hbar}$.

λ lze odhadnout bez výslovného řešení tím, že se zaznamená jeho účinek na pravděpodobnostní proud zákon o ochraně přírody. Protože pravděpodobnost plyne ze středu do stran, máme:

${displaystyle {frac {částečné} {částečné t}} int _ {- (q_ {0} + l)} ^ {(q_ {0} + l)} Psi ^ {*} Psi dx = 2cdot {frac {hbar} {2mi}} vlevo (Psi _ {1} ^ {*} {frac {částečné Psi _ {!}} {Částečné x}} - Psi _ {1} {frac {částečné Psi _ {1} ^ {*}} {částečné x}} hned),}$

Všimněte si, že faktor 2 je způsoben dvěma emitovanými vlnami.

Brát ${displaystyle Psi sim e ^ {- lambda t}}$, toto dává:

${displaystyle lambda cdot {frac {1} {4}} cdot 2 (q_ {0} + l) A ^ {2} {frac {k '^ {2}} {k ^ {2}}} cdot e ^ { 2k'l} přibližně 2 {frac {hbar} {m}} A ^ {2} k,}$

Od kvadratické závislosti v ${displaystyle k'l}$ je zanedbatelný vzhledem k jeho exponenciální závislosti, můžeme napsat:

${displaystyle lambda cca {frac {hbar k} {m (q_ {0} + l)}} {frac {k ^ {2}} {k '^ {2}}} cdot e ^ {- 2k'l}}$

Vzpomínka na imaginární část přidanou k k je mnohem menší než skutečná část, můžeme to nyní zanedbat a získat:

${displaystyle lambda cca {frac {hbar k} {m2 (q_ {0} + l)}} cdot 8 {frac {E} {VE}} cdot e ^ {- 2 {sqrt {2m (VE)}} l / hbar}}$

Všimněte si, že ${displaystyle {frac {hbar k} {m}}}$ je rychlost částic, takže prvním faktorem je klasická rychlost, kterou na ně částice zachycené mezi překážkami dopadnou.

Nakonec přejdeme k trojrozměrnému problému, sféricky symetrickému Schrödingerova rovnice čte (rozšiřuje vlnovou funkci ${displaystyle psi (r, heta, phi) = chi (r) u (heta, phi)}$ v sférické harmonické a při pohledu na n-tý termín):

${displaystyle {frac {hbar ^ {2}} {2m}} vlevo ({frac {d ^ {2} chi} {dr ^ {2}}} + {frac {2} {r}} {dchi} {dr } ight) = left (V (r) + {frac {hbar ^ {2}} {2m}} {frac {n (n + 1)} {r ^ {2}}} - Osm) chi}$

Od té doby ${displaystyle n> 0}$ se rovná rozšíření potenciálu, a tedy podstatnému snížení rychlosti rozpadu (vzhledem k jeho exponenciální závislosti na ${displaystyle {sqrt {V-E}}}$), zaměřujeme se na ${displaystyle n = 0}$, a získáte velmi podobný problém jako předchozí ${displaystyle chi (r) = Psi (r) / r}$, kromě toho, že nyní potenciál jako funkce r není kroková funkce.

Hlavním účinkem na amplitudy je to, že musíme nahradit argument v exponentu, přičemž vezmeme integrál z ${displaystyle 2 {sqrt {2m (V-E)}} / hbar}$ přes vzdálenost kde ${displaystyle V (r)> E}$ spíše než vynásobením l. Bereme Coulombův potenciál:

${displaystyle V (r) = {frac {z (Z-z) k_ {e} e ^ {2}} {r}}}$

kde ${displaystyle k_ {e}}$ je Coulombova konstanta, E the elektronový náboj, z = 2 je číslo náboje alfa částice a Z číslo náboje jádra (Z-z po emitování částice). Limity integrace jsou tedy ${displaystyle r_ {2} = {frac {z (Z-z) k_ {e} e ^ {2}} {E}}}$, kde předpokládáme, že jaderná potenciální energie je stále relativně malá, a ${displaystyle r_ {1}}$, což je místo, kde je negativní jaderná potenciální energie dostatečně velká, takže celkový potenciál je menší než E. Argument exponenta v λ tedy je:

${displaystyle 2 {frac {sqrt {2mE}} {hbar}} int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} {sqrt {{frac {V (r)} {E}} - 1}}, dr = 2 {frac {sqrt {2mE}} {hbar}} int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} {sqrt {{frac {r_ {2}} {r}} - 1}}, dr}$

To lze vyřešit nahrazením ${displaystyle t = {sqrt {r / r_ {2}}}}$ a pak ${displaystyle t = cos (heta)}$ a řešení pro θ, dávat:

${displaystyle 2cdot r_ {2} {frac {sqrt {2mE}} {hbar}} cdot (cos ^ {- 1} (x) - {sqrt {x}} {sqrt {1-x}}) = 2 {frac {{sqrt {2m}} z (Zz) k_ {e} e ^ {2}} {hbar {sqrt {E}}}} cdot (cos ^ {- 1} (x) - {sqrt {x}} { sqrt {1-x}})}$

kde ${displaystyle x = r_ {1} / r_ {2}}$.Od té doby X je malý, X-závislý faktor je řádu 1.

Předpokládal Gamow ${displaystyle xll 1}$, čímž nahrazuje X-závislý faktor podle ${displaystyle pi / 2}$, dávat:${displaystyle lambda sim e ^ {- {sqrt {frac {E_ {g}} {E}}}}}$s:

${displaystyle E_ {g} = {frac {2pi ^ {2} mleft [z (Z-z) k_ {e} e ^ {2} ight] ^ {2}} {hbar ^ {2}}}}$

který je stejný jako vzorec uvedený na začátku článku s ${displaystyle Z_ {a} = z}$, ${displaystyle Z_ {b} = Z-z}$a konstanta jemné struktury ${displaystyle alpha = {frac {k_ {e} e ^ {2}} {hbar c}}}$.

Pro rádium rozpad alfa, Z = 88, z = 2 a m = 4m_str, E_G je přibližně 50 GeV. Gamow vypočítal sklon ${displaystyle log (lambda)}$ s ohledem na E při energii 5 MeV být ~ 10¹⁴ joule⁻¹ve srovnání s experimentální hodnotou ${displaystyle 0,7cdot 10 ^ {14}}$ joule⁻¹.

Reference

externí odkazy

• Modelování alfa poločasu (Georgia State University)