Gagliardo – Nirenbergova interpolační nerovnost - Gagliardo–Nirenberg interpolation inequality

v matematika, Gagliardo – Nirenbergova interpolační nerovnost je výsledkem teorie Sobolevovy prostory který odhaduje slabé deriváty funkce. Odhady jsou vyjádřeny jako L^p normy funkce a jejích derivátů a nerovnost „interpoluje“ mezi různými hodnotami p a pořadí diferenciace, odtud název. Výsledek je zvláště důležitý v teorii eliptické parciální diferenciální rovnice. Navrhl to Louis Nirenberg a Emilio Gagliardo.

Prohlášení o nerovnosti

Nerovnost se týká funkcí u: Rⁿ → R. Opravit 1 ≤q, r ≤ ∞ a a přirozené číslo m. Předpokládejme také, že skutečné číslo α a přirozené číslo j jsou takové, že

${ displaystyle { frac {1} {p}} = { frac {j} {n}} + vlevo ({ frac {1} {r}} - { frac {m} {n}} vpravo) alpha + { frac {1- alpha} {q}}}$

a

${ displaystyle { frac {j} {m}} leq alpha leq 1.}$

Pak

1. každá funkce u: Rⁿ → R v tom spočívá L^q(Rⁿ) s m^th derivát v L^r(Rⁿ) také má j^th derivát v L^p(Rⁿ);
2. a navíc existuje konstanta C záleží jen na m, n, j, q, r a α takhle

${ displaystyle | mathrm {D} ^ {j} u | _ {L ^ {p}} leq C | mathrm {D} ^ {m} u | _ {L ^ {r}} ^ { alpha} | u | _ {L ^ {q}} ^ {1- alpha}.}$

Výsledek má dva výjimečné případy:

1. Li j = 0, pan < n a q = ∞, pak je nutné učinit další předpoklad, že buď u inklinuje k nule v nekonečnu nebo tak u leží v L^s pro některé konečné s > 0.
2. Pokud 1 <r <∞ a m − j − n/r je nezáporné celé číslo, pak je nutné předpokládat také to α ≠ 1.

Pro funkce u: Ω →R definované na a ohraničený Lipschitzova doména Ω ⊆Rⁿ, interpolační nerovnost má stejné hypotézy jako výše a čte

${ displaystyle | mathrm {D} ^ {j} u | _ {L ^ {p}} leq C_ {1} | mathrm {D} ^ {m} u | _ {L ^ { r}} ^ { alpha} | u | _ {L ^ {q}} ^ {1- alpha} + C_ {2} | u | _ {L ^ {s}}}$

kde s > 0 je libovolné; přirozeně konstanty C₁ a C₂ závisí na doméně Ω a také m, n atd.

Důsledky

• Když α = 1, L^q norma u zmizí z nerovnosti a interpolační nerovnost Gagliardo – Nirenberg pak implikuje Sobolevova věta o vložení. (Všimněte si zejména toho r je povoleno být 1.)
• Dalším zvláštním případem interpolační nerovnosti Gagliardo – Nirenberg je Ladyženskina nerovnost, ve kterém m = 1, j = 0, n = 2 nebo 3, q a r jsou oba 2 a p = 4.
• V prostředí Sobolevovy prostory ${ displaystyle H ^ {s}}$, s ${ displaystyle 0 leq s_ {1}$, speciální případ je dán ${ displaystyle | u | _ {H ^ {s}} leq | u | _ {H ^ {s_ {1}}} ^ { frac {s_ {2} -s} {s_ {2 } -s_ {1}}} | u | _ {H ^ {s_ {2}}} ^ { frac {s-s_ {1}} {s_ {2} -s_ {1}}}}$. To lze také odvodit pomocí Plancherelův teorém a Hölderova nerovnost.

Reference

• E. Gagliardo. Ulteriori proprietà di alcune classi di funzioni in più variabili. Ricerche Mat., 8: 24–51, 1959.
• Nirenberg, L. (1959). "Na eliptických parciálních diferenciálních rovnicích". Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). 13: 115–162.
• Haïm Brezis, Petru Mironescu. Gagliardo-Nirenbergovy nerovnosti a nerovnosti: celý příběh. Annales de l’Institut Henri Poincaré - Non Linear Analysis 35 (2018), 1355-1376.
• Leoni, Giovanni (2017). První kurz v Sobolevových prostorech: Druhé vydání. Postgraduální studium matematiky. 181. Americká matematická společnost. 734. ISBN  978-1-4704-2921-8
• Nguyen-Anh Dao, Jesus Ildefonso Diaz, Quoc-Hung Nguyen (2018), Zobecněné nerovnosti Gagliardo-Nirenberg pomocí Lorentzových prostorů a BMO, Nelineární analýza, svazek 173, strany 146-153.