G-kroužek - G-ring

Informace o prstenci Saturn G viz Prsteny Saturnu.

v komutativní algebra, a G-kroužek nebo Grothendieckův prsten je Noetherian ring tak, že mapa některého z jeho místní prsteny do dokončení je normální (definováno níže). Téměř všechny noetherovské prsteny, které se přirozeně vyskytují v algebraická geometrie nebo teorie čísel jsou G-kroužky a je docela těžké postavit příklady noetherských kruhů, které nejsou G-kroužky. Pojem je pojmenován po Alexander Grothendieck.

Kroužek, který je jak G-kroužkem, tak a J-2 kroužek se nazývá a kvazi-vynikající prsten, a pokud navíc je všeobecně řetězovka nazývá se to vynikající prsten.

Definice

  • (Noetherian) prsten R obsahující pole k je nazýván geometricky pravidelné přes k pokud pro nějaké konečné prodloužení K. z k prsten R ⊗k K. je pravidelné zvonění.
  • Homomorfismus prstenů z R na S je nazýván pravidelný pokud je plochá a pro všechny p ∈ Spec (R) vlákno S ⊗R k(p) je geometricky pravidelný nad zbytkovým polem k(p) zp. (viz také Popescuova věta.)
  • Kroužek se nazývá místní G-kroužek, pokud se jedná o noetherský místní kruh a mapa k jeho dokončení (s ohledem na jeho maximální ideál) je pravidelná.
  • Prsten se nazývá G-kroužek, pokud je Noetherian a všechny jeho lokalizace v hlavních ideálech jsou místní G-kroužky. (Stačí to zkontrolovat jen kvůli maximálním ideálům, takže zejména místní G-kroužky jsou G-kroužky.)

Příklady

  • Každý pole je G-kroužek
  • Každý kompletní noetherianský místní kruh je G-ring
  • Každý kruh konvergentní výkonové řady v konečném počtu proměnných R nebo C je G-kroužek.
  • Každá doména Dedekind v charakteristice 0, a zejména kruh celých čísel, je G-kroužkem, ale v pozitivní charakteristice existují Dedekindovy domény (a dokonce i diskrétní oceňovací kruhy), které nejsou G-kroužky.
  • Každá lokalizace G-kroužku je G-kroužkem
  • Každá konečně generovaná algebra přes G-kroužek je G-kroužek. Toto je věta kvůli Grothendieckovi.

Zde je příklad diskrétního oceňovacího kruhu A charakteristické p> 0, což není G-kroužek. Li k je jakékoli pole charakteristik p s [k:kp] = ∞ a R=k[[X]] a A je podřetězec výkonových řad ΣAiXi takový, že [kp(A0,A1,...):kp ] je konečný pak formální vlákno A nad obecným bodem není geometricky pravidelný, takže A není G-kroužek. Tady kp označuje obrázek k pod Frobeniův morfismus A→Ap.

Reference

  • A. Grothendieck, J. Dieudonné, Eléments de géométrie algébrique IV Publ. Matematika. IHES 24 (1965), oddíl 7
  • H. Matsumura, Komutativní algebra ISBN  0-8053-7026-9, kapitola 13.