Základní lemma teorie sít - Fundamental lemma of sieve theory

v teorie čísel, základní lemma teorie sít je některý z několika výsledků, které systematizují proces podávání žádosti sítové metody na konkrétní problémy. Halapartna & Richert^[1]:92–93psát si:

Zvláštní vlastností sítové literatury je, že i když se často používá Brun je metoda existuje jen několik pokusů o formulaci obecného Bruna teorém (například Věta 2.1); ve výsledku je překvapivě mnoho článků, které do značné míry opakují kroky Brunova argumentu.

Diamant & Halapartna^[2]:42připisovat terminologii Základní lemma na Jonas Kubilius.

Běžná notace

Používáme tyto notace:

• A je sada X kladná celá čísla a A_d je jeho podmnožina celých čísel dělitelná d
• w(d) a R_d jsou funkce A a ze dne d které odhadují počet prvků A které jsou dělitelné dpodle vzorce

${displaystyle leftvert A_ {d} ightvert = {frac {w (d)} {d}} X + R_ {d}.}$

Tím pádem w(d) / d představuje přibližnou hustotu členů dělitelnou d, a R_d představuje chybu nebo zbytek termínu.

• P je sada prvočísel a P(z) je produktem těchto prvočísel ≤ z
• S(A, P, z) je počet prvků A není dělitelný žádným prime in P to je ≤ z
• κ je konstanta, která se nazývá hustota prosévání,^[3]:28 který se objevuje v níže uvedených předpokladech. Je to vážený průměr z počtu zbytkové třídy prosetý každým prvočíslem.

Základní lemma kombinatorního síta

Tato formulace je z Tenenbaum.^[4]:60 Další formulace jsou v Halapartna & Richert,^[1]:82 v Greaves,^[3]:92a v Friedlander & Iwaniec.^{[5]:732–733}Děláme předpoklady:

• w(d) je multiplikativní funkce.
• Hustota prosévání κ vyhovuje, pro určitou konstantu C a jakákoli reálná čísla η a ξ s 2 ≤ η ≤ ξ:

${displaystyle prod _ {eta leq pleq xi} left (1- {frac {w (p)} {p}} ight) ^ {- 1}$

Existuje parametr u ≥ 1, který máme k dispozici. Máme jednotně dovnitř A, X, z, a u že

${displaystyle S (a, P, z) = Xprod _ {pleq z, připnout P} doleva (1- {frac {w (p)} {p}} vpravo) {1 + O (u ^ {- u / 2 })} + Oleft (součet _ {dleq z ^ {u}, d | P (z)} | R_ {d} | ight).}$

V aplikacích, které vybereme u získat nejlepší chybový termín. V sítu představuje počet úrovní zásada začlenění - vyloučení.

Základní lemma Selbergova síta

Tato formulace je z Halapartna & Richert.^{[1]:208–209} Další formulace je v Diamond & Halapartna.^[2]:29

Děláme předpoklady:

• w(d) je multiplikativní funkce.
• Hustota prosévání κ vyhovuje, pro určitou konstantu C a jakákoli reálná čísla η a ξ s 2 ≤ η ≤ ξ:

${displaystyle sum _ {eta leq pleq xi} {frac {w (p) ln p} {p}}$

• w(p) / p <1 - C pro některé malé pevné C a všechno p
• | R_d | ≤ ω (d) kde ω (d) je počet zřetelných hlavních dělitelů d.

Základní lemma má téměř stejnou formu jako kombinatorické síto. Psát si u = ln X / ln z. Závěr je:

${displaystyle S (a, P, z) = Xprod _ {pleq z, připnout P} doleva (1- {frac {w (p)} {p}} vpravo) {1 + O (e ^ {- u / 2 })}.}$

Všimněte si, že u již není nezávislým parametrem, který máme k dispozici, ale je řízen výběrem z.

Všimněte si, že chybový termín je zde slabší než pro základní lemma kombinatorického síta. Poznámka Halberstam & Richert:^[1]:221 „Není tedy pravdou říci, jak se čas od času v literatuře tvrdí, že Selbergovo síto je vždy lepší než Brunovo.“

Poznámky