Fregeova věta - Freges theorem - Wikipedia

v metalogický a metamatematika, Fregeova věta je metateorem že se uvádí, že Peanoovy axiomy z aritmetický lze odvodit v logika druhého řádu z Humův princip. Poprvé to neformálně prokázal Gottlob Frege v jeho 1884 Die Grundlagen der Arithmetik (Základy aritmetiky )[1] a formálněji se osvědčil v roce 1893 Grundgesetze der Arithmetik Já (Základní zákony aritmetiky Já).[2] Věta byla znovu objevena Crispin Wright počátkem 80. let a od té doby se na ně zaměřila významná práce. Je to jádro filozofie matematiky známý jako nelogicismus (alespoň z Skotská škola odrůda).

Přehled

v Základy aritmetiky (1884) a později v Základní zákony aritmetiky (sv. 1, 1893; sv. 2, 1903), Frege se pokusil odvodit všechny zákony aritmetiky z axiomů, které tvrdil jako logické (viz logika ). Většina z těchto axiomů byla přenesena z jeho Begriffsschrift; ten skutečně nový princip byl ten, kterému říkal Základní zákon V[2] (nyní známý jako axiomové schéma neomezeného porozumění ):[3] „rozsah hodnot“ funkce F(X) je stejný jako „rozsah hodnot“ funkce G(X) právě tehdy, když ∀X[F(X) = G(X)]. Nejenže základní zákon V nebyl logickým návrhem, ale výsledný systém se ukázal jako nekonzistentní, protože podléhal Russellův paradox.[4]

Rozpor ve věci Frege Grundgesetze zastínil úspěch Frege: podle Edward Zalta, Grundgesetze "obsahuje všechny základní kroky platného důkazu (v logika druhého řádu ) základních tvrzení aritmetiky z jediného konzistentního principu. “[4] Tento úspěch se stal známým jako Fregeova věta.[4][5]

Fregeova věta ve výrokové logice

(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
NeZelená značkaYNe✓NeZelená značkaY✗✓✗Zelená značkaY✗✓✗
NeZelená značkaYNe✓AnoZelená značkaY✗✓✗Zelená značkaY✗✓✓
NeZelená značkaYAno✗NeZelená značkaY✗✓✓Zelená značkaY✗✓✗
NeZelená značkaYAno✓AnoZelená značkaY✗✓✓Zelená značkaY✗✓✓
AnoZelená značkaYNe✓NeZelená značkaY✓✗✗Zelená značkaY✓✗✗
AnoZelená značkaYNe✓AnoZelená značkaY✓✗✗Zelená značkaY✓✓✓
AnoRed XNAno✗NeZelená značkaY✓✓✓Red XN✓✗✗
AnoZelená značkaYAno✓AnoZelená značkaY✓✓✓Zelená značkaY✓✓✓
12345678910111213

v výroková logika, Fregeovy věty se o tom zmiňují tautologie:

(P → (Q→R)) → ((P→Q) → (P→R))

Věta již platí v jedné z nejslabších představitelných logik, konstruktivní implikační počet. Důkaz pod Brouwer – Heyting – Kolmogorovova interpretace čte . Slovy: „Nechť F označit důvod, který P to naznačuje Q naznačuje R. A nechte G označit důvod, který P naznačuje Q. Poté dostal a F, pak dostal a G, poté uvedl důvod p pro P, víme, že oba Q drží G a to Q naznačuje R drží F. Tak R drží. “

The pravdivostní tabulka napravo poskytuje sémantický důkaz. Pro všechna možná přiřazení Nepravdivé (✗) nebo skutečný (✓) až P, Q, a R (sloupce 1, 3, 5), každý dílčí vzorec je hodnocen podle pravidel pro materiál podmíněný, výsledek je uveden pod jeho hlavním operátorem. Sloupec 6 ukazuje, že se vyhodnotí celý vzorec skutečný v každém případě, tj. že se jedná o tautologii. Ve skutečnosti je to předchůdce (sloupec 2) a jeho následný (sloupec 10) jsou dokonce ekvivalentní.

Poznámky

  1. ^ Gottlob Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, Vratislav: Verlag von Wilhelm Koebner, 1884, §63.
  2. ^ A b Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik I, Jena: Verlag Hermann Pohle, 1893, § 20 a 47.
  3. ^ Richard Pettigrew, "Základní teorie množin", 26. ledna 2012, s. 2.
  4. ^ A b C Zalta, Edward (2013), „Fregeova věta a základy aritmetiky“, Stanfordská encyklopedie filozofie.
  5. ^ Boolos, Georgi (1998). Logika, logika a logika. Editoval Richard C. Jeffrey, úvod John P. Burgess. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. str.154. ISBN  9780674537675. OCLC  37509971. Fregeovým překvapivým objevem, o kterém si mohl, ale nemusel být plně vědom a který byl od objevení Russellova paradoxu ztracen, bylo to aritmetiku lze odvodit v čistě logickém systému, jako je ten jeho Begriffsschrift z této konzistentní zásady a pouze z ní.

Reference