Zlomenina měkkých materiálů - Fracture of soft materials

Měkké materiály (Měkká hmota ) se skládají z druhu materiálu, který např. zahrnuje měkké biologické tkáně i syntetické elastomery, a to je velmi citlivé na tepelné variace. Měkké materiály se tedy mohou před šířením trhlin velmi zdeformovat. Následně se pole napětí blízko špičky trhliny významně liší od tradiční formulace, se kterou se setkáváme v Lineární pružná lomová mechanika. Analýza zlomenin pro tyto aplikace proto vyžaduje zvláštní pozornost.^[1]

Lineární elastická lomová mechanika (LEFM) a K-pole (viz Lomová mechanika ) jsou založeny na předpokladu nekonečně malé deformace, a proto nejsou vhodné k popisu lomu měkkých materiálů. Důvodem je to, že měkké materiály se před šířením trhlin obvykle velmi deformují a otupí.^[2] K pochopení základů lomu na měkkých materiálech však lze použít obecný přístup LEFM.

Alternativně k lineárnímu přístupu lomu v LEFM řešení pro pole deformace a napětí v trhlinách u měkkých materiálů uvažuje o velké deformaci a je odvozeno z rámce elastostatiky konečných deformací a hyperelastických materiálových modelů.

Modely hyperelastického materiálu

Hyperelastický materiál modely se používají k získání vztahu napětí-deformace pomocí funkce hustoty deformační energie. Relevantní modely pro odvození vztahů napětí-deformace pro měkké materiály jsou: Mooney-Rivlin pevný, Neohookean, Exponenciálně kalící materiál a Gent hyperelastický modely. Na této stránce budou výsledky primárně odvozeny z modelu Neo-Hookean.

Zobecněný neohookean (GNH)

Neo-Hookeanův model je zobecněn, aby zohlednil kalící faktor:

${ displaystyle W = { frac { mu} {2b}} vlevo { vlevo [1 + { frac {b} {n}} (I-3) vpravo] ^ {n} -1 že jo}}$ ,

kde b> 0 a n> 1/2 jsou materiálové parametry a ${ displaystyle I = I_ {1}}$ je první neměnný z Cauchy-Greenova deformačního tenzoru:

${ displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2}}$ ,

kde ${ displaystyle lambda _ { alpha}}$ jsou hlavní úseky.

Specifický neohookejský model

Nastavení n = 1, funkce specifické napětí-deformace pro neo-Hookean model je odvozen:

${ displaystyle W = { frac { mu} {2}} (I-3)}$ .

Řešení špičky trhliny konečného přetvoření (při velké deformaci)

Obrázek 1: Formulace problému s crackem. (A) Nedeformovaná trhlina se souřadnicemi (

{ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}

) na kartézském základě a (

{ displaystyle r, theta}

) v polárním základě. (B) Trhlina je v rovinném přetvoření s jednoosým zatížením a souřadnice jsou (

{ displaystyle y_ {1}, y_ {2}}

) na kartézském základě a (

{ displaystyle rho, phi}

) v polárním základě. Převzato z Longa a Hui [4].

Protože LEFM již není použitelný, jsou přizpůsobeny alternativní metody pro zachycení velkých deformací při výpočtu napěťových a deformačních polí. V této souvislosti je relevantní metoda asymptotické analýzy.

Metoda asymptotické analýzy

Metoda asymptotické analýzy spočívá v asymptotické analýze špičky trhliny za účelem nalezení řady expanzí deformovaných souřadnic schopných charakterizovat řešení v blízkosti špičky trhliny. Analýza je redukovatelná na nelineární problém vlastních čísel.^[3]

Problém je formulován na základě trhliny v nekonečném tělese, zatíženém v nekonečnu rovnoměrným jednoosým napětím za podmínek rovinného přetvoření (viz obr. 1). Jak se trhlina deformuje a postupuje, souřadnice v aktuální konfiguraci jsou reprezentovány symbolem ${ displaystyle y_ {1}}$ a ${ displaystyle y_ {2}}$ na kartézském základě a ${ displaystyle rho}$ a ${ displaystyle phi}$ v polárním základě. Souřadnice ${ displaystyle y_ {1}}$ a ${ displaystyle y_ {2}}$ jsou funkce nedeformovaných souřadnic ( ${ displaystyle r, theta}$ ) a poblíž špičky trhliny, jako r → 0, lze zadat jako:

${ displaystyle y _ { alpha} (r, theta) = r ^ {m _ { alpha}} upsilon _ { alpha} ( theta) + r ^ {p _ { alpha}} q _ { alpha} ( theta) + ...}$

${ displaystyle m _ { alpha}$ ${ displaystyle alpha = 1,2}$ ,

kde ${ displaystyle m _ { alpha}}$ , ${ displaystyle p _ { alpha}}$ jsou neznámé exponenty a ${ displaystyle upsilon _ { alpha} ( theta)}$ , ${ displaystyle q _ { alpha} ( theta)}$ jsou neznámé funkce popisující úhlovou variaci.

Za účelem získání vlastních čísel je výše uvedená rovnice dosazena do konstitutivního modelu, který poskytuje odpovídající složky nominálního napětí. Poté jsou napětí dosazena do rovnovážných rovnic (stejná formulace jako v teorii LEFM) a jsou použity okrajové podmínky. Nejdominantnější výrazy jsou zachovány, což vede k problému vlastních čísel pro ${ displaystyle upsilon _ { alpha} ( theta)}$ a ${ displaystyle m _ { alpha}}$ .^[4]

Deformační a napěťové pole v rovinné deformační trhlině

V případě homogenního neohookeanského tělesa (n = 1) za podmínek režimu I jsou deformované souřadnice pro konfiguraci rovinného přetvoření dány vztahem^[4]^[5]

${ displaystyle y_ {1} = - b_ {0} rsin ^ {2} ( theta / 2), quad y_ {2} = ar ^ {1/2} sin ( theta / 2),}$

kde a ${ displaystyle b_ {0}}$ jsou neznámé pozitivní amplitudy, které závisí na aplikovaném zatížení a geometrii vzorku.

Úvodní podmínky pro jmenovité napětí (nebo první Stres Piola – Kirchhoff, označeno ${ displaystyle sigma}$ na této stránce) jsou:

${ displaystyle sigma _ {11} = mu b_ {0}, quad sigma _ {12} = o (1),}$

${ displaystyle sigma _ {21} = - { frac { mu a} {2}} r ^ {- 1/2} hřích ( theta / 2),}$

${ displaystyle sigma _ {22} = { frac { mu a} {2}} r ^ {- 1/2} cos ( theta / 2).}$

Tím pádem, ${ displaystyle sigma _ {11}}$ a ${ displaystyle sigma _ {21}}$ jsou ohraničeny na špičce trhliny a ${ displaystyle sigma _ {21}}$ a ${ displaystyle sigma _ {22}}$ mají stejnou jedinečnost.

Hlavní pojmy pro skutečný stres (nebo Cauchyho stres, označeno ${ displaystyle tau}$ na této straně),

${ displaystyle tau _ {11} = mu b_ {0} ^ {2} sin ^ {2} ( theta / 2),}$

${ displaystyle tau _ {12} = tau _ {21} = - { frac { mu} {2}} ab_ {0} r ^ {- 1/2} hřích ^ {2} ( theta / 2),}$

${ displaystyle tau _ {22} = { frac { mu} {4}} a ^ {2} r ^ {- 1}.}$

Jedinou skutečnou složkou napětí zcela definovanou a je ${ displaystyle tau _ {22}}$ . Představuje také nejzávažnější singularitu. S tím je jasné, že singularita se liší, pokud je napětí dáno v aktuální nebo referenční konfiguraci. Navíc v LEFM má skutečné stresové pole v režimu I singularitu ${ displaystyle {r} ^ {- 1/2}}$ ,^[6] což je slabší než singularita v ${ displaystyle tau _ {22}}$ .

Zatímco v LEFM pole posunutí blízkého hrotu závisí pouze na faktoru intenzity napětí módu I, je zde ukázáno, že u velkých deformací závisí posun na dvou parametrech (a a ${ displaystyle b_ {0}}$ pro podmínku rovinného přetvoření).

Deformační a napěťové pole v rovinné napěťové trhlině

Deformační pole špičky trhliny pro konfiguraci režimu I v homogenním materiálu neohookeanské pevné látky (n = 1) je dáno vztahem^[4]^[5]

${ displaystyle y_ {1} = cr , cos theta, quad y_ {2} = a { sqrt {r}} hřích ( theta / 2),}$

kde aac jsou pozitivní nezávislé amplitudy určené okrajovými podmínkami vzdáleného pole.

Dominantní podmínky nominálního napětí jsou

${ displaystyle sigma _ {11} = mu c, quad sigma _ {12} = o (1),}$

${ displaystyle sigma _ {21} = - { frac { mu a} {2}} r ^ {- 1/2} hřích ( theta / 2),}$

${ displaystyle sigma _ {22} = { frac { mu a} {2}} r ^ {- 1/2} cos ( theta / 2).}$

A skutečné složky stresu jsou

${ displaystyle tau _ {11} = mu c ^ {2}, quad tau _ {12} = tau _ {21} = - { frac { mu} {2}} acr ^ {- 1/2} hřích ( theta / 2),}$

${ displaystyle tau _ {22} = { frac { mu} {4}} a ^ {2} r ^ {- 1}.}$

Analogicky posunutí závisí na dvou parametrech (a a c pro podmínku rovinného napětí) a singularita je silnější v ${ displaystyle tau _ {22}}$ období.

Rozložení skutečného napětí v deformovaných souřadnicích (jak je znázorněno na obr. 1B) může být relevantní při analýze šíření trhlin a tupého jevu. Dále je to užitečné při ověřování experimentálních výsledků deformace trhliny.

J-integrál

The J-integrál představuje energii, která proudí do trhliny, a proto se používá k výpočtu rychlost uvolňování energie, G. Navíc jej lze použít jako kritérium zlomeniny. Bylo zjištěno, že tento integrál je nezávislý na dráze, pokud je materiál elastický a nedochází k poškození mikrostruktury.

Vyhodnocení J na kruhové dráze v referenční konfiguraci poskytuje výnosy

${ displaystyle J = pi A left ({ frac {2n-1} {2n}} right) ^ {2n-1} n ^ {2-n} a ^ {2n}}$ ,

pro rovinnou deformaci v režimu I, kde a je amplituda členu vedoucího řádu z ${ displaystyle y_ {2}}$ a A a n jsou materiálové parametry z funkce deformační energie.

Pro rovinné napětí je režim I v neoheookeanském materiálu J dán vztahem

${ displaystyle J = { frac { mu pi} {2}} vlevo ({ frac {b} {n}} vpravo) ^ {n-1} vlevo ({ frac {2n-1 } {2n}} vpravo) ^ {2n-1} n ^ {1-n} a ^ {2n}}$ ,

kde b a n jsou materiálové parametry pevných látek GNH. Pro konkrétní případ neohookeanského modelu, kde n = 1, b = 1 a ${ displaystyle A = mu / 2}$ , integrál J pro rovinné napětí a rovinné přetvoření v režimu I jsou stejné:

${ displaystyle J = { frac { mu pi a ^ {2}} {4}}}$ .

J-integrál v experimentu čistého smyku

J-integrál lze určit experimenty. Jedním běžným experimentem je čistý střih v nekonečném dlouhém pásu, jak je znázorněno na obr. 2. Horní a dolní okraj jsou upnuty pomocí úchopů a zatížení je aplikováno vytažením úchopů svisle od sebe o ± ∆.^[4] Tato sada generuje podmínku rovinného napětí.

Obrázek 2: Experiment čistého smyku.

Za těchto podmínek je tedy J-integrál vyhodnocen jako

${ displaystyle J = 2h_ {0} W (I_ {1}, I_ {2}) = 2h_ {0} Psi ( lambda),}$

kde ${ displaystyle I_ {1} = I_ {2} = lambda ^ {2} + lambda ^ {- 2} +1,}$ ${ displaystyle lambda = 1 + { frac { Delta} {h_ {0}}}}$ ,

a ${ displaystyle h_ {0}}$ je výška nedeformovaného stavu pásu. Funkce ${ displaystyle Psi ( lambda)}$ se stanoví měřením jmenovitého napětí působícího na pás natažený o ${ displaystyle lambda}$ :

${ displaystyle Psi = int _ {1} ^ { lambda} sigma ( lambda) d lambda}$ .

Z uloženého posunutí každé rukojeti, ± ∆, je tedy možné určit J-integrál pro odpovídající jmenovité napětí. S J-integrálem lze najít amplitudu (parametr a) některých skutečných složek napětí. Některé další amplitudy složek napětí však závisí na dalších parametrech, jako je c (např. ${ displaystyle sigma _ {11}}$ za podmínek rovinného napětí) a nelze je určit experimentem čistého smyku. Nicméně experiment čistého smyku je velmi důležitý, protože umožňuje charakterizaci lomová houževnatost měkkých materiálů.

Praskliny rozhraní

Obrázek 3: Geometrie trhliny rozhraní. Převzato z Gaubelle a Knauss [5].

Abychom se přiblížili interakci adheze mezi měkkými lepidly a tuhými substráty, je specifikováno asymptotické řešení problému praskliny na rozhraní mezi materiálem GNH a tuhým substrátem.^[5] Zde uvažovaná konfigurace trhlin rozhraní je zobrazena na obr. 3, kde je boční skluz ignorován.

Pro speciální neohookeanský případ s n = 1 a ${ displaystyle { overline {v_ {1}}} = { overline {v_ {2}}} = cos theta}$ , řešení pro deformované souřadnice je

${ displaystyle y_ {1} = a_ {1} r ^ { frac {1} {2}} sin left ({ frac { theta} {2}} right) + rcos theta}$ ,

${ displaystyle y_ {2} = a_ {2} r ^ { frac {1} {2}} sin left ({ frac { theta} {2}} right),}$

Obrázek 4: Měkký materiál a rozhraní tuhého podkladu. A) Graf deformovaných souřadnic špičky trhliny. B) Parabolický tvar špičky trhliny.

což odpovídá

${ displaystyle y_ {1} = { frac {a_ {1}} {a_ {2}}} y_ {2} - left ({ frac {y_ {2}} {a_ {2}}} right ) ^ {2}}$ .

Podle výše uvedené rovnice se trhlina na tomto typu rozhraní otevírá s parabolickým tvarem. To je potvrzeno vynesením normalizovaných souřadnic ${ displaystyle y_ {1} / a_ {2} ^ {2}}$ vs. ${ displaystyle y_ {2} / a_ {2} ^ {2}}$ pro různé ${ displaystyle a_ {1} / a_ {2}}$ poměry (viz obr. 4).

Chcete-li projít analýzou rozhraní mezi dvěma listy GNH se stejnými charakteristikami kalení, podívejte se na model popsaný Gaubelle a Knauss.^[5]

Viz také

Reference

^ Goldman Boué, T .; Harpaz, R .; Fineberg, J .; Bouchbinder, E. (2015). „Měkké selhání: teorie zlomenin vysoce deformovatelných materiálů“. Měkká hmota. 11 (19): 3812–3821. arXiv:1502.04848. Bibcode:2015SMat ... 11,3812G. doi:10.1039 / c5sm00496a. ISSN 1744-683X. PMID 25857951.
^ Hui, C.-Y .; A., Jagota; Bennison, S. J; Londono, J. D. (06.06.2003). "Otupení trhlin a síla měkkých elastických pevných látek". Sborník královské společnosti v Londýně. Řada A: Matematické, fyzikální a technické vědy. 459 (2034): 1489–1516. Bibcode:2003RSPSA.459.1489H. doi:10.1098 / rspa.2002.1057. ISSN 1471-2946.
^ Knowles, J. K .; Sternberg, Eli (červen 1973). „Asymptotická analýza konečných deformací elastostatického pole poblíž špičky trhliny“. Journal of Elasticity. 3 (2): 67–107. doi:10.1007 / bf00045816. ISSN 0374-3535.
^ ^A ^b ^C ^d Long, Rong; Hui, Chung-Yuen (září 2015). „Pole špičky trhlin v měkkých elastických tělesech vystavených velké kvazi-statické deformaci - přehled“. Dopisy extrémní mechaniky. 4: 131–155. doi:10.1016 / j.eml.2015.06.002. ISSN 2352-4316.
^ ^A ^b ^C ^d Geubelle, Philippe H .; Knauss, Wolfgang G. (1994). „Konečná napětí na špičce trhliny v listu hyperelastického materiálu: II. Speciální bimateriální případy“. Journal of Elasticity. 35 (1–3): 99–137. doi:10.1007 / bf00115540. ISSN 0374-3535.
^ Zehnder, Alan T. (2012). "Lomová mechanika". Přednášky z aplikované a výpočetní mechaniky. 62. doi:10.1007/978-94-007-2595-9. ISBN 978-94-007-2594-2. ISSN 1613-7736.

[1] Goldman Boué, T .; Harpaz, R .; Fineberg, J .; Bouchbinder, E. (2015). „Měkké selhání: teorie zlomenin vysoce deformovatelných materiálů“. Měkká hmota. 11 (19): 3812–3821. arXiv:1502.04848. Bibcode:2015SMat ... 11,3812G. doi:10.1039 / c5sm00496a. ISSN 1744-683X. PMID 25857951.

[2] Hui, C.-Y .; A., Jagota; Bennison, S. J; Londono, J. D. (06.06.2003). "Otupení trhlin a síla měkkých elastických pevných látek". Sborník královské společnosti v Londýně. Řada A: Matematické, fyzikální a technické vědy. 459 (2034): 1489–1516. Bibcode:2003RSPSA.459.1489H. doi:10.1098 / rspa.2002.1057. ISSN 1471-2946.

[3] Knowles, J. K .; Sternberg, Eli (červen 1973). „Asymptotická analýza konečných deformací elastostatického pole poblíž špičky trhliny“. Journal of Elasticity. 3 (2): 67–107. doi:10.1007 / bf00045816. ISSN 0374-3535.

[:0-4] A ^b ^C ^d Long, Rong; Hui, Chung-Yuen (září 2015). „Pole špičky trhlin v měkkých elastických tělesech vystavených velké kvazi-statické deformaci - přehled“. Dopisy extrémní mechaniky. 4: 131–155. doi:10.1016 / j.eml.2015.06.002. ISSN 2352-4316.

[:1-5] A ^b ^C ^d Geubelle, Philippe H .; Knauss, Wolfgang G. (1994). „Konečná napětí na špičce trhliny v listu hyperelastického materiálu: II. Speciální bimateriální případy“. Journal of Elasticity. 35 (1–3): 99–137. doi:10.1007 / bf00115540. ISSN 0374-3535.

[6] Zehnder, Alan T. (2012). "Lomová mechanika". Přednášky z aplikované a výpočetní mechaniky. 62. doi:10.1007/978-94-007-2595-9. ISBN 978-94-007-2594-2. ISSN 1613-7736.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]