Bram van Leer - Bram van Leer

Bram van Leer
Bram van Leer - Aerospace UM.jpg
Prof. Van Leer ve společnosti Aerospace Engineering building FXB at University of Michigan
narozený
Nizozemská východní Indie
Alma materLeiden University
Známý jakoMUSCL schéma
Vědecká kariéra
PoleCFD
Dynamika tekutin
Numerická analýza
InstituceMichiganská univerzita
Doktorský poradceHendrik C. van de Hulst

Bram van Leer je emeritní profesor Arthur B. Modine z letecké inženýrství na Michiganská univerzita, v Ann Arbor.[1] Specializuje se na Výpočetní dynamika tekutin (CFD), dynamika tekutin, a numerická analýza. Jeho nejvlivnější práce spočívá v CFD, oboru, který pomáhal modernizovat od roku 1970. Hodnocení jeho rané tvorby přednesl C. Hirsch (1979)[2]

Van Leer, který je vzdělaným astrofyzikem, trvale přispěl k CFD ve své pětidílné sérii článků „Směrem ke schématu konečné konzervativní odlišnosti (1972–1979)“, kde rozšířil Godunovovo schéma konečných objemů do druhého řádu (MUSCL). Také v seriálu vyvinul neoscilační interpolaci pomocí omezovačů, přibližného Riemannova řešiče a diskontinuálních Galerkinových schémat pro nestabilní postup. Od svého nástupu na katedru leteckého inženýrství na univerzitě v Michiganu (1986) pracoval na zrychlení konvergence místním předpřipravováním a multigridovou relaxací pro problémy Euler a Navier-Stokes, nestabilní adaptivní mřížky, modelování prostoru a prostředí, modelování atmosférického proudění, rozšířená hydrodynamika pro vzácné toky a diskontinuální Galerkinovy ​​metody. V roce 2012 odešel do důchodu, kvůli progresivní slepotě se musel vzdát výzkumu.

Během své kariéry měla práce van Leera interdisciplinární charakteristiku. Počínaje astrofyzikou nejprve ovlivnil výzkum zbraní, následoval letectví, poté modelování kosmického počasí, modelování atmosféry, modelování povrchové vody a modelování automobilových motorů, abychom jmenovali nejdůležitější pole.

Osobní zájmy

van Leer hraje na klavír na Pierpont Commons, University of Michigan

Van Leer je také vynikajícím hudebníkem, hraje na klavír ve věku 5 let a komponuje v 7. Jeho hudební vzdělání zahrnuje dva roky na Královské hudební konzervatoři v Haagu v Nizozemsku. Jako pianista byl uveden v čísle Winter '96 časopisu Michigan Engineering (Engineering and the Arts). Jako zvonkohra hrával na zvonkohru Central Campus Burton Tower na mnoha fotbalových sobotách. Byl prvním a jediným CJ na světě (zvonkohra) založeným na zvonkohře North Campus, živě vysílaném z Lurie Tower.

V roce 1993 přednesl hodinový recitál na zvonkohře radnice v Leidenu, městě své alma mater. Van Leer rád improvizuje v nizozemském stylu hraní na zvonkohru; jedna z jeho improvizací je zahrnuta na CD z roku 1998, které obsahuje obě zvonkohry z University of Michigan. Jeho zvonková skladba „Lament“ byla zveřejněna v hudebním cyklu Zvonkohra UM School of Music u příležitosti výročního kongresu Cechu zvonkohry v Severní Americe, Ann Arbor, červen 2002. V roce 1997 byla dvakrát provedena flétnová skladba van Leera. profesor Michiganské univerzity Leone Buyse.

Výzkumná práce

Bram van Leer byl doktorandem z astrofyziky na observatoři v Leidenu (1966–1970), když se kvůli řešení problémů s kosmickým tokem začal zajímat o výpočetní dynamiku tekutin (CFD). Jeho první hlavní výsledek v CFD[3] byla formulace funkce numerického toku proti větru pro hyperbolický systém zákonů zachování:

Tady matice se poprvé objevuje na CFD, definované jako matice, která má stejné vlastní vektory jako tok Jacobian , ale odpovídající vlastní čísla jsou moduly těch z . Dolní index označuje reprezentativní nebo průměrnou hodnotu na intervalu ; nebylo to o méně než 10 let později Philip L. Roe nejprve představil své často používané průměrné vzorce.

Dále se van Leerovi podařilo obejít Godunovovu bariérovou větu (tj. Schéma podpory zachování monotónnosti nemůže být lepší než přesné prvního řádu) omezením termínu druhého řádu v Laxově-Wendroffově schématu jako funkce nehladkosti samotné numerické řešení. Toto je nelineární technika i pro lineární rovnici. Poté, co objevil tento základní princip, naplánoval sérii tří článků s názvem „Směrem ke konečnému konzervativnímu rozdílovému schématu“, které postupovaly od skalárního nekonzervativního, ale neoscilačního (část I[4]) přes skalární konzervativní neoscilační (část II[5]) na konzervativní neoscilační Euler (část III[6]). Ukázalo se, že schémata konečných rozdílů pro Eulerovy rovnice jsou neatraktivní kvůli jejich mnoha termínům; přechod na formulaci konečného objemu to zcela vyčistil a vedl k části IV[7] (konečný objem skalární) a nakonec část V.[8] (finální svazek Lagrange a Euler) s názvem „Pokračování Godunovovy metody druhého řádu“, což je jeho nejcitovanější článek (přibližuje 6000 citací 1. listopadu 2017). Tento papír[9] byl přetištěn v roce 1997 ve 30. výročním čísle časopisu Journal Computational Physics s úvodem Charlese Hirsche.

Série obsahuje několik originálních technik, které si našly cestu do CFD komunity. V části II jsou představeny dva omezovače, které později nazval van Leer „dvojitý minmod“ (po Osherově „minmod“ omezovači) a jeho vyhlazená verze „harmonická“; druhý omezovač je v literatuře někdy označován jako „omezovač van Leera“. Část IV, „Nový přístup k numerické konvekci“, popisuje skupinu 6 schémat druhého a třetího řádu, která zahrnuje dvě diskontinuální Galerkinova schémata s přesnou časovou integrací. Van Leer nebyl jediný, kdo pomocí nelineárního omezení prolomil Godunovovu bariéru; podobné techniky vyvinul nezávisle přibližně ve stejnou dobu Boris[10] a V.P. Kolgan, ruský výzkumník neznámý na Západě. V roce 2011 van Leer věnoval článek Kolganovým příspěvkům [11] a nechal Kolganovu zprávu TsAGI z roku 1972 přetisknout v překladu v časopise Journal of Computational Physics.

Po vydání seriálu (1972–1979) strávil van Leer dva roky v ICASE (NASA LaRC), kde byl zaměstnán inženýry NASA, kteří se zajímali o jeho numerické znalosti. To vedlo k van Leerovu diferencovatelnému štěpení vektoru toku[12] a vývoj blokových strukturovaných kódů CFL2D a CFL3D [13][14] které jsou stále hojně využívány. Dalšími příspěvky z těchto let jsou revize metod proti větru u Harten a Lax,[15] seminární práce AMS [16] podrobně popisuje rozdíly a podobnosti mezi proudy proti větru a vzorcem toku Jamesona a konferenčním příspěvkem s Mulderem[17] na metodách relaxace proti větru; druhý zahrnuje koncept Switched Evolution-Relaxation (SER) pro automatický výběr časového kroku v implicitním pochodovém schématu.

Po trvalém přesunu do USA byl prvním vlivným dokumentem van Leera „Srovnání vzorců numerického toku pro Eulerovu a Navier-Stokesovu rovnici,[18]”Který analyzuje numerické funkce toku a jejich vhodnost pro řešení mezních vrstev ve výpočtech Navier-Stokes. V roce 1988 se pustil do velmi velkého projektu, jehož cílem bylo dosáhnout čistě explicitní metodiky stabilního řešení Euler v operacích O (N). Tato strategie měla tři zásadní součásti: 1. Optimálně vyhlazování vícestupňových schémat jedné mřížky pro nabídky2. Místní předpoklady Eulerových rovnic Polohrubá multižlutá relaxace

První předmět byl vyvinut ve spolupráci s jeho doktorandem C.H. Tai.[19] Druhý předmět byl nutný, aby Eulerovy rovnice vypadaly co nejvíce skalárně. Předpoklady byly vyvinuty s doktorandem W. -T. Závětří.[20] Aby bylo možné toto aplikovat na diskrétní schéma, bylo nutné provést zásadní modifikaci původní diskretizace. Ukázalo se, že uplatnění předběžné úpravy na Eulerovu diskretizaci vyžadovalo přeformulování funkce numerického toku, aby byla zachována přesnost při nízkých Machových počtech. Kombinace optimálních schémat jedné mřížky s předem upravenou Eulerovou diskretizací bylo dosaženo doktorandem J. F. Lynnem.[21] Stejnou strategii pro diskretizaci Navier-Stokes sledoval D. Lee.[22]

Třetí složku, polohrubou multigridovou relaxaci, vyvinul van Leerův bývalý student W. A. ​​Mulder (Mulder 1989). Tato technika je potřebná k tlumení určitých kombinací vysokofrekvenčních a nízkofrekvenčních režimů, když je mřížka vyrovnána s tokem.

V roce 1994 se van Leer spojil s Darmofalem, v té době postdoktorandem na University of Michigan, aby projekt dokončil. Cíle projektu dosáhly nejprve Darmofal a Siu (Darmofal a Siu 1999), později ho efektivněji provedli van Leer a Nishikawa.[23]

Zatímco probíhal projekt s více mřížkami, pracoval van Leer na dvou dalších předmětech: vícerozměrných řešitelích Riemann,[24][25] a časově závislá adaptivní kartézská mřížka.[26] Po uzavření multigridového projektu pokračoval van Leer v práci na lokálním předpodmínění Navier-Stokesových rovnic společně s C. Depcikem.[27] Byla odvozena 1-D předběžná úprava, která je optimální pro všechna Machova a Reynoldsova čísla. V rovině (M, Re) však existuje úzká doména, kde předem upravené rovnice připouštějí rostoucí režim. V praxi by takový režim, pokud by měl vzniknout, měl být tlumen schématem časového pochodu, např. Implicitním schématem.

V posledním desetiletí své kariéry se van Leer zabýval rozšířenou hydrodynamikou a metodou diskontinuální Galerkin. Cílem prvního projektu bylo popsat zředěný tok až do mezilehlých Knudsenových čísel (Kn ~ 1) hyperbolicko-relaxačním systémem. To funguje dobře pro podzvukové toky a slabé rázové vlny, ale silnější rázové vlny získávají nesprávnou vnitřní strukturu.[28][29] V případě nízkorychlostního toku otestoval van Leerův doktorand H. L. Khieu přesnost formulace hyperbolicko-relaxace pomocí srovnání simulací s numerickými výsledky plně kinetického řešiče založeného na Boltzmannově rovnici.[30] Nedávný výzkum ukázal, že systém PDE druhého řádu odvozený od hyperbolických relaxačních systémů může být zcela úspěšný; Podrobnosti viz Myong Over-reach 2014.

Druhým projektem byl vývoj diskontinuálních Galerkinových (DG) metod pro operátory difúze. Začalo to objevem metody obnovy pro reprezentaci 1D difuzního operátora.

Od roku 2004 generální ředitelství pro obnovu (RDG) založené na obnově[31] byla prokázána přesnost řádu 3p + 1 nebo 3p + 2 pro sudý nebo lichý stupeň polynomiálního prostoru p. Tento výsledek platí pro kartézské mřížky v 1, 2 nebo 3 rozměrech pro lineární a nelineární difúzní rovnice, které mohou nebo nemusí obsahovat smykové výrazy.[32][33][34][35] Na nestrukturovaných sítích se předpokládalo, že RDG dosáhne řádu přesnosti 2p + 2; tento výzkum bohužel nebyl dokončen před tím, než van Leer odešel do důchodu.

Kromě výše uvedeného příběhu uvádíme seznam některých předmětů a prací souvisejících s van Leerovým interdisciplinárním výzkumným úsilím:

  • Dynamika kosmického plynu - van Albada, van Leer a Roberts[36]
  • Modelování vesmírného prostředí - Clauer a kol.[37]
  • Atmosférické modelování - Ullrich, Jablonowski, van Leer[38]
  • Modelování automobilových motorů - Depcik, van Leer, Assanis[39]

Tři významné recenze od Van Leera jsou:

  • Vývoj numerické mechaniky tekutin a aerodynamiky od 60. let 20. století: USA a Kanada[40]
  • Úvod do výpočetní dynamiky tekutin[41]
  • B. van Leer, „Metody stlačitelného vzduchu proti větru a vysokému rozlišení: od dárcovské buňky k reziduálním distribučním schématům,“ Communications in Computational Physics, sv. 1, s. 192–205, 2006.

V roce 2010 získal van Leer cenu AIAA Fluid Dynamics za své celoživotní dílo. Při této příležitosti přednesl van Leer plenární přednášku s názvem „Historie CFD, část II“, která pokrývá období od roku 1970 do roku 1995. Níže je uveden plakát van Leer a jeho doktorand Lo určené pro tuto příležitost.

Obrazovka je alegorie na vznik moderní CFD v období 1970-1985, konkrétně: vývoj metod s vysokým rozlišením (neoscilační metody s přesností vyššího než prvního řádu) a jejich konečné přijetí leteckým společenství. Vidíme exotickou krajinu, kde dominuje velká pyramida. Tři muži se snaží dosáhnout jeho vrcholu různými způsoby: Jay Boris (kladivo s dlátem), Bram van Leer (lano) a Vladimir Kolgan (žebřík); jeho předčasná smrt v roce 1978 z něj učinila neznámého dokonce i v Rusku. Uvědomte si, že pyramida je také obrovskou hlavní řeckou deltou, symbolem konečného rozdílu, který prostupuje rovnicemi CFD. Správcem brány je John von Neumann, otec CFD. Z prehistorie CFD jsou poprsí zcela vlevo Richarda Couranta, Kurta Friedrichse a Hanse Lewyho, jejichž iniciály tak dobře známe. Zcela vpravo najdeme na plážových lehátkách Peter Lax a Sergei Godunov, obry numerické analýzy z generace následující po Von Neumannovi. Uvolňují se, zatímco mladší generace bojuje za to, aby zvýšila současný stav CFD. V popředí, zleva doprava, se poprvé setkáváme s Bobem MacCormackem, který na konci 60. let přizpůsobil Lax-Wendroffovu metodu druhého řádu leteckému využití, ale nebyl schopen zkrotit její numerické oscilace. Dále Phil Roe, možná uvažuje o svém přibližném řešiči Riemannovi nebo omezovači Superbee. Za bránou Stan Osher a Ami Harten (zemřel 1994), pravděpodobně diskutující o technikách TVD nebo ENO. Poslední tři spolu s vanem Leerem byli nejvlivnější při přijímání metod s vysokým rozlišením přijatých v leteckém inženýrství; velká část technologického přechodu proběhla v ICASE, NASA LaRC. V neposlední řadě v letadle Antony Jameson, který šel svou vlastní cestou a vyvinul sadu vysoce účinných CFD kódů pro stabilní aeronautiku.

Vzdělávání a odborná příprava

  • 1963 - kandidátská astronomie, Leiden State University
  • 1966 - Doctorandus Astrophysics, Leiden State University
  • 1970 - Ph.D. Astrofyzika, Leiden State University, 1970
  • 1970–72 - Miller Fellow Astrophysics, University of California Berkeley

Profesionální zkušenost

  • 2012 – současnost - emeritní profesor Arthur B. Modine, University of Michigan
  • 2007–2012 - Arthur B. Modine, profesor inženýrství, University of Michigan
  • 1986–2007 - profesor leteckého inženýrství, University of Michigan
  • 1982–86 - vedoucí výzkumu, Delft University of Technology
  • 1979–81 - hostující vědec, NASA Langley (ICASE)
  • 1978–82 - vedoucí výzkumu, Leidenská observatoř
  • 1970–72 - Miller Fellow Astrophysics, University of California Berkeley
  • 1966–1977 - vědecký pracovník, Leidenská observatoř

Vyznamenání a ocenění

  • 2010 - Cena AIAA Fluid Dynamics Award
  • 2007 - Arthur B. Modine profesor leteckého inženýrství
  • 2005–2009 - vedoucí pracovník University of Michigan
  • 2005 - Oddělení Aerospace Engineering Service Award, Univ. z Michiganu
  • 2003 - Cena výpočetní mechaniky, Japonská společnost strojních inženýrů
  • 1996 - College of Engineering Research Excellence Award, Univ. z Michiganu
  • 1995 - člen AIAA
  • 1992 - Cena za službu veřejné služby, NASA Langley
  • 1992 - Oddělení Aerospace Engineering Research Award, Univ. z Michiganu
  • 1990 - Cena skupiny Achievement Award, NASA Langley
  • 1990 - čestný doktorát, Svobodná univerzita v Bruselu
  • 1978 - Cena C. J. Koka, Leiden University

Nedávné publikace

Následující články se týkají diskontinuální Galerkinovy ​​metody pro difúzní rovnice:

  • B. van Leer a S. Nomura, „Discontinuous Galerkin for diffusion,“ AIAA Paper 2005-5108, 2005.
  • B. van Leer, M. Lo a M. van Raalte, „Diskontinuální Galerkinova metoda pro difúzi založenou na výtěžku,“ dokument AIAA 2007-4083, 2007.
  • M. van Raalte a B. van Leer, „Bilineární formy diskontinuální Galerkinovy ​​metody difúze založené na obnově,“ Communications in Computational Physics Vol. 5, s. 683–693, 2009.
  • B. van Leer a M. Lo, „Unification of Discontinuous Galerkin methods for advection and diffusion,“ dokument AIAA 2009-0400, 2009.
  • M. Lo a B. van Leer, „Analýza a implementace diskontinuální Galerkinovy ​​metody difúze založené na obnově,“ AIAA Paper 2009-3786, 2009.
  • Lo, M .; van Leer, B., „Diskontinuální Galerkin na základě obnovy pro viskózní podmínky Navier Stokes“, AIAA Paper 2011-3406, 2011.

Viz také

Reference

  1. ^ „van Leer na University of Michigan“. Archivovány od originál dne 2011-07-20. Citováno 2009-04-04.
  2. ^ Hirsch, Ch. (1997). „Úvod do“ Směrem ke schématu maximální konzervativní odlišnosti. V. Pokračování druhého řádu Godunovovy metody"". Journal of Computational Physics. 135 (2): 227–228. doi:10.1006 / jcph.1997.5757.
  3. ^ van Leer, B. (1970). Možnost výběru rozdílových schémat pro ideální stlačitelný tok (Ph.D.). Sterrewacht, Leiden, Nizozemsko.
  4. ^ B. van Leer. Směrem ke konečnému konzervativnímu rozdílovému schématu I. Hledání monotónnosti. In Lecture Notes in Physics. Sborník ze třetí mezinárodní konference o numerických metodách v mechanice tekutin, strany 163–168. Springer, 1973.
  5. ^ Van Leer, Bram (1974). „Směrem ke konečnému konzervativnímu rozdílovému schématu. II. Monotónnost a zachování kombinované ve schématu druhého řádu“. Journal of Computational Physics. 14 (4): 361–370. Bibcode:1974JCoPh..14..361V. doi:10.1016/0021-9991(74)90019-9.
  6. ^ Van Leer, Bram (1977). „Směrem ke konečnému konzervativnímu rozdílovému schématu III. Schémata konečných rozdílů se středem proti proudu pro ideální stlačitelné proudění“. Journal of Computational Physics. 23 (3): 263–275. Bibcode:1977JCoPh..23..263V. doi:10.1016/0021-9991(77)90094-8.
  7. ^ Van Leer, Bram (1977). „Směrem ke konečnému konzervativnímu rozdílovému schématu. IV. Nový přístup k numerické konvekci“. Journal of Computational Physics. 23 (3): 276–299. doi:10.1016 / 0021-9991 (77) 90095-X.
  8. ^ Van Leer, Bram (1979). „Směrem ke konečnému konzervativnímu rozdílovému schématu. V. Pokračování Godunovovy metody druhého řádu“. Journal of Computational Physics. 32: 101–136. Bibcode:1979JCoPh..32..101V. doi:10.1016/0021-9991(79)90145-1.
  9. ^ Van Leer, Bram (1997). „Směrem k systému nejvyššího konzervativního rozdílu“. Journal of Computational Physics. 135 (2): 229–248. doi:10.1006 / jcph.1997.5704.
  10. ^ Boris, Jay P .; Book, David L. (1973), "Transport s korekcí toku. I. SHASTA, fungující algoritmus transportu tekutiny", Journal of Computational Physics, 11.1 (1): 38–69, Bibcode:1973JCoPh..11 ... 38B, doi:10.1016/0021-9991(73)90147-2
  11. ^ van Leer, B. (2011), „Historický přehled: Vladimír P. Kolgan a jeho schéma s vysokým rozlišením“, Journal of Computational Physics, 230.7 (7): 2378–2383, Bibcode:2011JCoPh.230.2378V, doi:10.1016 / j.jcp.2010.12.032
  12. ^ van leer, B. (1982), „Flux-vector Splitting for the Euler Equations“, Přednášky z fyziky, Mezinárodní konference o numerických metodách v dynamice tekutin, 170: 507–512
  13. ^ Anderson, W. K.; Thomas, J.L .; van Leer, B. (1985), „Srovnání štěpení vektoru toku konečného objemu pro Eulerovy rovnice“, Papír AIAA
  14. ^ Thomas, J.L .; Walters, R.W .; Van Leer, B .; Anderson, W.K. (1985), „Implicitní schémata rozdělení toku pro Eulerovy rovnice“, Papír AIAA, 85: 1680
  15. ^ Harten, A .; Lax, P.D .; van Leer, B. (1983), „Upstream Differencing and Godunov-Type Schémata pro zákony proti hyperbolickému zachování“, SIAM Rev., 25: 35–61, doi:10.1137/1025002
  16. ^ van Leer, Bram (1985). „Metody rozdílu větru proti větru pro aerodynamické problémy řízené Eulerovými rovnicemi“. In Engquist, Bjorn E .; Osher, Stanley; Somerville, Richard C. J (eds.). Výpočty ve velkém měřítku v mechanice tekutin, část 2. Přednášky z aplikované matematiky. 327–336.
  17. ^ Mulder, W.A .; van Leer, B. (1985), „Experimenty s implicitními metodami proti větru pro Eulerovy rovnice“, J. Comput. Phys., 59 (2): 232–246, Bibcode:1985JCoPh..59..232M, doi:10.1016/0021-9991(85)90144-5
  18. ^ van Leer, B .; Thomas, J.L .; Roe, P.L .; Newsome, R. W. (1987), „Srovnání vzorců numerického toku pro Eulerovu a Navier-Stokesovu rovnici“, Papír AIAA CP-874: 36–41
  19. ^ van Leer, B .; Tai, C.-H .; Powell, K. G. (1989), „Návrh optimálně vyhlazujících vícestupňových schémat pro Eulerovy rovnice“, Papír AIAA 89-1933-CP
  20. ^ van Leer, B .; Lee, W. T .; Roe, P. L. (1991), „Charakteristické časování nebo místní předpoklady pro Eulerovy rovnice“, AIAA 10th Computational Fluid Dynamics Conference, AIAA Paper CP-91-1552: 260–282
  21. ^ van Leer, B .; Lynn, J. (1995), „Polohrubý multi-gridový řešič pro Eulerovy rovnice s lokálním předpřipravením“, 12. konference AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, AIAA Paper 95-1667-CP: 242–252
  22. ^ Lee, D .; van Leer, B .; Lynn, J. (1997), „Místní Navier-Stokesův předpoklad pro všechna Mach a Cell Reynoldsova čísla“, 13. konference AIAA CFD, AIAA-97-2024
  23. ^ Nishikawa, H .; van Leer, B. (2003), „Optimal Multigrid Convergence by Hyperbolic / Elliptic Splitting“, Journal of Computational Physics, 190 (1): 52–63, Bibcode:2003JCoPh.190 ... 52N, doi:10.1016 / s0021-9991 (03) 00253-5, hdl:2027.42/77269
  24. ^ Levy, D. W .; Powell, K.G .; van Leer, B. (1993), „Použití rotovaného Riemannova řešiče pro dvourozměrné Eulerovy rovnice“, Journal of Computational Physics, 106 (2): 201–214, doi:10.1016 / s0021-9991 (83) 71103-4, hdl:2027.42/30757,
  25. ^ Rumsey, C. L .; van Leer, B .; Roe, P. L. (1993), „Funkce vícerozměrného toku s aplikacemi pro Eulerovu a Navier-Stokesovu rovnici“ (PDF), Journal of Computational Physics, 105 (2): 306–323, Bibcode:1993JCoPh.105..306R, doi:10.1006 / jcph.1993.1077
  26. ^ Chiang, Y.-L .; van Leer, B. (1992), „Simulace nestálého neviditelného toku na adaptivně rafinované karteziánské mřížce“, Papír AIAA 92-0443
  27. ^ Depcik, C .; van Leer, B. (2003), "Hledání optimálního místního předchůdce společnosti Navier-Stokes", 16. konference AIAA o výpočetní dynamice tekutin, AIAA 2003-3703
  28. ^ Suzuki, Y .; van Leer, B. (2005), „Aplikace 10-momentového modelu na toky MEMS“, AIAA Paper 2005-1398
  29. ^ Suzuki, Y .; Khieu, H.L .; van Leer, B. (červen 2009), „CFD podle PDE prvního řádu“, Mechanika kontinua a termodynamika, 21 (6): 445–465, Bibcode:2009CMT .... 21..445S, doi:10.1007 / s00161-009-0124-2
  30. ^ Khieu, L .; van Leer, B. (2011), „Solid-boundary treatment for moment equations“, 20. konference o výpočetní dynamice tekutin AIAA, 3
  31. ^ van Leer, B .; Nomura, S. (2005), „Discontinuous Galerkin for Diffusion“, AlAA Paper 2005-5108
  32. ^ van Leer, B .; Lo, M .; van Raalte, M. (2007), „Diskontinuální Galerkinova metoda pro difúzi založenou na zotavení“, 18. konference AlAA Computational Fluid Dynamics Conference, AIAA Paper 2007-4083
  33. ^ van Leer, B .; Lo., M. (2009), „Sjednocení diskontinuálních Galerkinových metod pro advekci a difúzi“, 19. konference o výpočetní dynamice tekutin AIAA, AIAA-2009-0400
  34. ^ Lo, M .; van Leer, B. (2009), „Analýza a implementace diskontinuální Galerkinovy ​​metody difúze založené na obnově“, AIAA Paper Nr. 2009-3786
  35. ^ Lo, M .; van Leer, B. (2011), „Diskontinuální Galerkin na základě obnovy pro viskózní podmínky Navier Stokes“, Papír AIAA 2011-3406
  36. ^ van Albada, G.D .; van Leer, B .; Roberts, W.W. Jr. (1982), „Srovnávací studie výpočetních metod v dynamice kosmického plynu“, Astronomie a astrofyzika, 108 (1): 76–84, Bibcode:1982A & A ... 108 ... 76V
  37. ^ Clauer, C.R .; Gombosi, T.I .; Dezeeuw, D.L .; Ridley, A.J .; Powell, K.G .; van Leer, B .; Stout, Q.F .; Groth, C.P.T .; Holzer, T.E. (2000), „High Performance Computer Methods Applied to Predictive Space Weather Simulation“, Transakce IEEE v oblasti plazmové vědy, 28 (6): 1931–1937, Bibcode:2000ITPS ... 28.1931C, CiteSeerX  10.1.1.77.7344, doi:10.1109/27.902221
  38. ^ Ullrich, P.A .; Jablonowski, C .; van Leer, B. (2010), „Metody konečného objemu vysokého řádu pro rovnice mělké vody ve sféře“, Journal of Computational Physics
  39. ^ Depcik, C .; van Leer, B .; Assanis, D. (2005), „Numerická simulace dynamiky plynů reagujících na proměnné vlastnosti: nové poznatky a validace“, Numerický přenos tepla, část A: Aplikace, 47 (1): 27–56, Bibcode:2004NHTA ... 47 ... 27D, doi:10.1080/10407780490520823
  40. ^ van Leer, Bram (1985). „Vývoj numerické mechaniky tekutin a aerodynamiky od 60. let 20. století: USA a Kanada“. Ve věci Hirschel Ernst Heinrich; Karuse, Egon (eds.). 100 svazků poznámek k numerické mechanice tekutin. Springer. str. 159–185.
  41. ^ van Leer, Bram (2010). „Část 7: Úvod do výpočetní dynamiky tekutin“. In Richard, Blockley; Plachý, Wei (eds.). Encyclopedia of Aerospace Engineering. 2. Wiley. s. 1–14.

externí odkazy