Finistická teorie množin - Finitist set theory - Wikipedia

Finistická teorie množin (FST)^[1] je teorie sběru určená k modelování konečných vnořených struktur jednotlivců a různých druhů tranzitivní a antitransitivní řetězy vztahy mezi jednotlivci. Na rozdíl od klasických teorie množin jako ZFC a KPU, FST nemá fungovat jako základ pro matematiku, ale pouze jako nástroj v ontologické modelování. FST funguje jako logický základ klasické interpretace vrstevnice,^[2] a dokáže začlenit velkou část funkčnosti diskrétní pouhá.

Modely FST jsou typu ${ displaystyle {U _ { alpha}, S _ { beta}, in }}$, který je zkrácen jako ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alfa, beta}}$. ${ displaystyle U _ { alpha}}$ je kolekce ur-prvků modelu ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alfa, beta}}$. Ur-prvky (urs) jsou nedělitelná primitiva. Přiřazením konečného celého čísla, například 2, k hodnotě ${ displaystyle alpha}$, je rozhodnuto, že ${ displaystyle U _ { alpha}}$ obsahuje přesně 2 urs. ${ displaystyle S _ { beta}}$ je kolekce, jejíž prvky se budou nazývat sady. ${ displaystyle beta geq 0}$ je konečné celé číslo, které označuje maximální pořadí (úroveň vnoření) sad v ${ displaystyle S _ { beta}}$. Každý set in ${ displaystyle S _ { beta}}$ má jako členy jednu nebo více sad, adres URL nebo obojí. Zadaný ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ a aplikované axiomy opraví obsah ${ displaystyle U _ { alpha}}$ a ${ displaystyle S _ { beta}}$. Pro usnadnění používání jazyka jsou výrazy jako „sady, které jsou prvky ${ displaystyle S _ { beta}}$ modelu ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alfa, beta}}$ a urs, které jsou prvky ${ displaystyle U _ { alpha}}$ modelu ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alfa, beta}}$„jsou zkráceny jako“ sady a adresy URL, které jsou prvky ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alfa, beta}}$".

Formální vývoj FST odpovídá zamýšlené funkci nástroje v ontologickém modelování. Cílem inženýra, který aplikuje FST, je výběr axiomy které poskytují model, který je jeden-jeden korelovaný s cílovou doménou, která má být modelována FST, jako je rozsah chemické sloučeniny nebo sociální stavby které se nacházejí v přírodě. Cílová doména dává technikovi intuici o obsahu modelu FST, který by měl být jedna-jedna korelovala s tím. FST poskytuje rámec, který usnadňuje výběr konkrétních axiomů, které dávají korelaci jedna ku jedné. Axiomy extenzionalita a omezení jsou postulovány ve všech verzích FST, ale axiomy konstrukcí množin (vnořené axiomy a sjednocující axiomy) se liší; přiřazení konečných celočíselných hodnot k ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ je implicitní ve vybraných konstrukčních axiomech množiny.

FST tak není jedinou teorií, ale názvem rodiny teorií nebo verzí FST, kde každá verze má své vlastní množinové konstrukční axiomy a jedinečný model ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alfa, beta}}$, který má konečný mohutnost a všechny jeho množiny mají konečnou hodnotu hodnost a mohutnost. FST axiomy jsou formulovány pomocí logika prvního řádu doplněno členem vztahu ${ displaystyle in}$. Všechny verze FST jsou teorie prvního řádu. V axiomech a definicích symboly ${ displaystyle x, y, z, v, w}$ jsou proměnné pro množiny, ${ displaystyle r, s, t}$ jsou proměnné pro sady i adresy URL, ${ displaystyle u}$ je proměnná pro adresy URL a ${ displaystyle a, b, c, d}$ označují jednotlivé adresy modelu. Symboly pro adresy URL se mohou objevit pouze na levé straně ${ displaystyle in}$. Symboly pro sady se mohou objevit na obou ${ displaystyle u in y}$.

Aplikovaný model FST je vždy minimální model, který splňuje použité axiomy. To zaručuje, že v aplikovaném modelu existují ty a jen ty prvky, které jsou výslovně vytvořeny vybranými axiomy: existují pouze ty adresy, u kterých je uvedeno, že existují přiřazením jejich počtu, a existují pouze ty sady, které jsou vytvořeny vybranými axiomy; kromě těchto neexistují žádné další prvky. Tato interpretace je nutná pro typické FST axiomy, které generují např. přesně jedna sada ${ displaystyle {a }}$ nevylučujte jinak sady jako ${ displaystyle { {a } }, { { {a } } }, ldots ,.}$

Kompletní modely FST

Kompletní modely FST obsahují všechny obměny souborů a adres URL v mezích ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$. Axiomy pro úplné modely FST jsou extenzionalita, omezení, singletonové sady a sjednocení sad. Roztažnost a omezení jsou axiomy všech verzí FST, zatímco axiom pro singletonové sady je prozatímní vnořovací axiom (${ displaystyle Gamma}$-axiom) a axiom sjednocení množin je prozatímní spojovací axiom (${ displaystyle cup}$-axiom).

• Sekera. Roztažnost: ${ displaystyle forall r (r in x leftrightarrow r in y) leftrightarrow x = y}$. Soubor ${ displaystyle x}$ je totožný s množinou ${ displaystyle y}$ iff (pokud a jen pokud) ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ mít stejné členy, mohou to být sady, adresy URL nebo obojí.
• Sekera. Omezení: ${ displaystyle forall x existuje r (r v x)}$. Každá sada má jako člen buď sadu, nebo ur. Prázdná sada ${ displaystyle {}}$ nemá žádné členy, a proto neexistuje nic takového jako ${ displaystyle {}}$ v FST. Urs jsou jediní ${ displaystyle in}$-minimální prvky v FST. Každá sada FST obsahuje alespoň jeden ur jako ${ displaystyle in}$-minimální člen dole.
• Sekera. Sady Singleton: ${ displaystyle forall r _ {< beta} existuje x forall s (s = r leftrightarrow s in x)}$. Pro každou ur a sadu ${ displaystyle r}$ který má hodnost menší než ${ displaystyle beta}$, existuje singletonová sada ${ displaystyle x = {r }}$. Omezení hodnosti (${ displaystyle r _ {< beta}}$) v axiomu vykonává práci axiomu základu tradičních teorií množin: omezení řady množin na přiřazenou konečnou ${ displaystyle beta}$ znamená to, že neexistují žádné neopodstatněné množiny, protože takové množiny by měly transfinitní hodnost. Vzhledem k tomu, urs ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ v ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {2,1}}$, axiom singletonových sad generuje pouze množiny ${ displaystyle {a }}$ a ${ displaystyle {b }}$, zatímco generuje axiom párování tradičních teorií množin ${ displaystyle {a }}$, ${ displaystyle {b }}$ a ${ displaystyle {a, b }}$.
• Sekera. Unie sad: ${ displaystyle forall x forall y existuje z forall r ((r in x lor r in y) leftrightarrow r in z)}$. Pro všechny sady ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$, existuje množina ${ displaystyle z}$ který obsahuje jako členy všechny ty a pouze ty sady a urs, které jsou členy ${ displaystyle x}$, Členové ${ displaystyle y}$nebo členové obou ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$. Například pokud sety ${ displaystyle {a }}$ a ${ displaystyle {b }}$ existuje, axiom spojení množin uvádí, že množina ${ displaystyle {a, b }}$ existuje. Pokud se nastaví ${ displaystyle {a, b }}$ a ${ displaystyle {b, c }}$ axiom uvádí, že ${ displaystyle {a, b, c }}$ existuje. Li ${ displaystyle {a }}$ a ${ displaystyle { {b } }}$ existuje, uvádí axiom ${ displaystyle {a, {b } }}$ existuje. Tento axiom se liší od axiomu spojení tradičních teorií množin.^[3]

Kompletní modely FST ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alfa, beta}}$ obsahují všechny obměny souborů a adres URL v mezích přiřazených ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$. Mohutnost ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alfa, beta}}$ je jeho počet sad a adres URL ${ sady zobrazovacích stylů ( alfa, beta) + alfa}$Zvažte několik příkladů.

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,0}}$: Jeden ur ${ displaystyle a}$ existuje. ${ displaystyle card ({ mathcal {M}} _ {1,0}) = sady (1,0) + 1 = 0 + 1 = 1}$

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {2,0}}$: Dvě urs ${ displaystyle a, b}$ existovat. ${ displaystyle card ({ mathcal {M}} _ {2,0}) = sady (2,0) + 2 = 0 + 2 = 2.}$

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$: Jeden ur ${ displaystyle a}$ a sada ${ displaystyle {a }}$ existovat. ${ displaystyle card ({ mathcal {M}} _ {1,0}) = sady ( alpha, beta) + alpha = sady (1,1) + 1 = 1 + 1 = 2.}$

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {2,1}}$: Dvě urs ${ displaystyle a, b}$ a sady ${ displaystyle {a }}$, ${ displaystyle {b }}$, ${ displaystyle {a, b }}$ existovat. ${ displaystyle card ({ mathcal {M}} _ {2,1}) = sady (2,1) + 2 = 3 + 2 = 5.}$

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,2}}$: Jeden ur ${ displaystyle a}$ a sady ${ displaystyle {a }}$, ${ displaystyle { {a } }}$, ${ displaystyle {a, {a } }}$ existovat. ${ displaystyle card ({ mathcal {M}} _ {1,2}) = sady (1,2) + 1 = 3 + 1 = 4.}$

Rekurzivní vzorec ${ sady zobrazovacích stylů ( alfa, beta)}$ udává počet sad v ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alfa, beta}}$:

${ displaystyle sady ( alpha, 0) = 0.}$

${ displaystyle sets ( alpha, 1) = 2 ^ { alpha} -1.}$

${ displaystyle sets ( alpha, beta) = 2 ^ { alpha + sady ( alpha, beta -1)} - 1.}$

v ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {2,2}}$ existují ${ displaystyle sady (2,2) = 2 ^ {2 + sady (2,1)} - 1 = 2 ^ {2 + 3} -1 = 31}$ sady.

v ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {2,3}}$ existují ${ displaystyle sady (2,3) = 2 ^ {2 + 31} -1 = 2 ^ {33} -1}$ sady.

Definice FST

Definice FST by měly být chápány jako praktické konvence pojmenování, které se používají k vyjádření, že prvky aplikovaného modelu FST jsou nebo nejsou specifickými způsoby vzájemně propojeny. Definice by neměly být považovány za axiomy: pouze axiomy znamenají existenci prvků modelu FST, nikoli definice. Aby nedocházelo ke konfliktům (zejména u axiomů u neúplných modelů FST), musí být definice podrobeny použitým axiómům s danými ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$. Pro ilustraci zdánlivého konfliktu předpokládejme ${ displaystyle {a, b }}$ a ${ displaystyle {b, c }}$ jsou jediné sady použitého modelu. Definice křižovatky uvádí, že ${ displaystyle {a, b } čepice {{b, c } = {b }}$. Tak jako ${ displaystyle {b }}$ v aplikovaném modelu neexistuje, může se definice průniku zdát jako axiom. To je však zjevné pouze pro ${ displaystyle {b }}$ nemusí existovat, aby bylo možné konstatovat, že jediným společným prvkem ${ displaystyle {a, b }}$ a ${ displaystyle {b, c }}$ je ${ displaystyle b}$, což je funkce definice křižovatky. Podobně se všemi definicemi.

• Def. Hodnost. Hodnost sady je formálním analogem úrovně jednotlivce. Že hodnost setu ${ displaystyle x}$ je ${ displaystyle n}$, je psáno jako ${ displaystyle { rm {rank}} (x) = n}$a zkráceně jako ${ displaystyle x _ { beta}}$ v některých vnořovacích axiomech. Podle konvence je hodnost ur-prvku 0. Protože v FST není žádná prázdná množina, nejmenší možná hodnost FST množiny je 1, zatímco v tradičních teoriích množin je hodnost {} 0. hodnost sady ${ displaystyle z}$ je definována jako největší úroveň vnoření ze všech ${ displaystyle in}$-minimální prvky ${ displaystyle z}$. Hodnost ${ displaystyle {a }}$ je 1, jako úroveň vnoření ${ displaystyle a}$ v ${ displaystyle {a }}$ je 1. Hodnost ${ displaystyle { {a } }}$ je 2, jako ${ displaystyle a}$ je vnořena dvěma soustřednými množinami. Hodnost ${ displaystyle { {a }, a }}$ je 2, protože 2 je největší úroveň vnoření ze všech ${ displaystyle in}$-minimální prvky ${ displaystyle { {a }, a }}$. Hodnost ${ displaystyle { { {a } } }}$ je 3, hodnost ${ displaystyle { { { {a } } } }}$ je 4 atd. Formálně:

${ displaystyle { rm {rank}} (s) = 0 leftrightarrow s}$ je ur-prvek.

${ displaystyle { rm {rank}} (y) geq n}$, kde ${ displaystyle n geq 1}$, je definován jako: ${ displaystyle existuje s_ {1}, s_ {2}, ldots, s_ {n} (s_ {1} in s_ {2} in ldots in s_ {n} in s).}$

${ displaystyle { rm {rank}} (s) = n}$, kde ${ displaystyle n geq 1}$, je definován jako: ${ displaystyle { rm {rank}} (s) geq n land lnot ({ rm {rank}} (s) geq n + 1).}$

Použitím definice ${ displaystyle n}$- hodnost člena (níže) lze definovat jako:

${ displaystyle { rm {rank}} (s) = 0 leftrightarrow s}$ je ur-prvek.

${ displaystyle { rm {rank}} (r) = n}$, je definován jako ${ displaystyle existuje a (a in _ {n} x) land not existuje a (a in _ {n + 1} x).}$

• Def. Podmnožina: ${ displaystyle forall r (r in x rightarrow r in y)}$, je označen jako ${ displaystyle x subseteq y}$. ${ displaystyle x}$ je podmnožinou ${ displaystyle y}$ pokud každý člen ${ displaystyle x}$ je členem ${ displaystyle y}$. Příklady: ${ displaystyle {a } subseteq {a }}$; ${ displaystyle {a, b } subseteq {a, b, c }}$. Že ${ displaystyle x}$ není podmnožinou ${ displaystyle y}$ je psán jako ${ displaystyle x not subseteq y}$. Příklady: ${ displaystyle {a } ne subseteq {b }}$; ${ displaystyle {a, b } ne subseteq {b, c }}$. Z důvodu vyloučení prázdné sady ${ displaystyle {}}$, v FST ${ displaystyle x subseteq y}$ znamená, že všichni členové ${ displaystyle x}$ jsou členy ${ displaystyle y}$, a ve složce existuje alespoň jeden člen ${ displaystyle x}$ a alespoň jeden člen v ${ displaystyle y}$. V tradičních teoriích množin kde ${ displaystyle {}}$ existovat, ${ displaystyle x subseteq y}$ znamená, že ${ displaystyle x}$ nemá žádné členy, kteří jsou členy ${ displaystyle y}$. Proto v tradičních teoriích množin ${ displaystyle {} subseteq y}$ platí pro každého ${ displaystyle y}$.

• Def. Správná podmnožina: ${ Displaystyle x subseteq y land y not subseteq x,}$ je označen jako ${ displaystyle x podmnožina y}$. ${ displaystyle x}$ je správná podmnožina ${ displaystyle y}$ iff ${ displaystyle x}$ je podmnožinou ${ displaystyle y}$ a ${ displaystyle y}$ není podmnožinou ${ displaystyle x}$. Příklady: ${ displaystyle {a } podmnožina {a, b }}$; ${ displaystyle {a, b } podmnožina {a, b, c }}$. Že ${ displaystyle x}$ není správná podmnožina ${ displaystyle y}$ je psán jako ${ displaystyle x not podmnožina y}$. Příklady: ${ displaystyle {a } ne podmnožina {a }}$; ${ displaystyle {a, b, c } ne podmnožina {a, b }}$. V FST, ${ displaystyle x podmnožina y}$ znamená, že všichni členové ${ displaystyle x}$ jsou členy ${ displaystyle y}$, ve složce existuje alespoň jeden člen ${ displaystyle x}$, nejméně dva členové v ${ displaystyle y}$a alespoň jeden člen skupiny ${ displaystyle y}$ není členem ${ displaystyle x}$. V tradičních teoriích množin ${ displaystyle x podmnožina y}$ znamená, že ${ displaystyle x}$ nemá žádné členy, kteří jsou členy ${ displaystyle y}$, a ${ displaystyle y}$ má alespoň jednoho člena, který není členem ${ displaystyle x}$. Proto v tradičních teoriích množin ${ displaystyle {} podmnožina y}$ platí pro každého ${ displaystyle y}$ kde ${ displaystyle y neq {}}$.
  

• Def. Nespojitost: ${ displaystyle not neexistuje r (r in x land r in y),}$ je označen jako ${ displaystyle x wr y}$. ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou disjunktní, pokud nemají žádné společné členy. Příklady: ${ displaystyle {a } wr {b }}$ (když ${ displaystyle a neq b}$); ${ displaystyle {a } wr { {a } }}$.
  

• Def. Překrytí: ${ displaystyle existuje r (r in x land r in y),}$ je označen jako ${ displaystyle x circ y}$. ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ překrývají, pokud mají jednoho nebo více společných členů. Příklady: ${ displaystyle {a } circ {a }}$; ${ displaystyle {a, b } circ {b, c }}$. Nespojitost je opakem překrývání: ${ displaystyle x circle y leftrightarrow lnot (x wr y)}$; ${ Displaystyle lnot (x Circ y) Leftrightarrow x Wr y}$.
  

• Def. Průsečík: ${ Displaystyle forall r ((r in x land r in y) leftrightarrow r in z),}$ je označen jako ${ displaystyle z = x cap y}$. Křižovatka ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$, ${ displaystyle z = x cap y}$, obsahuje ty a pouze ty sady a ur-prvky, které jsou členy obou ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$. Příklady: ${ displaystyle {a } čepice {{a } = {a }}$; ${ displaystyle {a, b, c } čepice {b, c, d } = {b, c }}$. Protože prázdná množina v FST neexistuje, průnik dvou nesouvislých množin neexistuje. Když ${ displaystyle r neq s}$, ${ displaystyle {r } čepice {{s } = y}$ neplatí pro žádné ${ displaystyle y}$. V tomto případě vztah disjunktity ${ displaystyle wr}$ může být použito: ${ displaystyle {r } wr {s }}$. V tradičních teoriích množin je průnik dvou disjunktních množin { it} prázdná množina: ${ displaystyle {a } čepice {{b } = {}}$. Pokud by byla odstraněna axiom omezení a byla by postulována existence prázdné množiny, stále by to neznamenalo, že prázdná množina { it is} je průnikem dvou nesouvislých množin.
  

• Def. svaz: ${ displaystyle forall r ((r in x lor r in y) leftrightarrow r in z),}$ je označen jako ${ displaystyle z = x pohár y}$. Soubor ${ displaystyle z}$ obsahuje jako členy všechny ty sady a ur-prvky, které jsou členy ${ displaystyle x}$, Členové ${ displaystyle y}$nebo členové obou ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$. Příklady: ${ displaystyle {a } pohár {a } = {a }}$; ${ displaystyle {a, b } pohár {b, c } = {a, b, c }}$; ${ displaystyle {a } pohár { {b } } = {a, {b } }}$.
  

• Věta slabé suplementace: ${ Displaystyle x podmnožina y rightarrow existuje z (z podmnožina y land z wr x).}$ ^[4] Slabá suplementace (WS) vyjadřuje, že je to správná podmnožina ${ displaystyle x}$ z ${ displaystyle y}$ není celá ${ displaystyle y}$, ale musí být doplněna jinou podmnožinou ${ displaystyle z}$ skládat ${ displaystyle y}$, kde ${ displaystyle z}$ a ${ displaystyle x}$ jsou disjunktní. V FST, kdy ${ displaystyle x}$ je správná podmnožina ${ displaystyle y}$, pak ${ displaystyle y}$ má další podmnožinu ${ displaystyle z}$ to je disjunktní s ${ displaystyle x}$. Například, ${ displaystyle {a } podmnožina {a, b } pravá šipka ( {b } podmnožina {a, b } země {b } wr {a })}$ platí pro všechny modely FST, které sadu obsahují ${ displaystyle {a, b }}$.

• Def. Rozdíl: ${ displaystyle forall r (r in z leftrightarrow (r in x land r notin y)),}$ je označen jako ${ displaystyle z = x setminus y.}$ Rozdíl ${ displaystyle z}$ z ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ obsahuje každého člena ${ displaystyle x}$ který není členem ${ displaystyle y}$. Příklady: ${ displaystyle {a } setminus {b } = {a }}$; ${ displaystyle {a, b, c } setminus {a, b } = {c }}$. Protože prázdná množina neexistuje, nelze to konstatovat ${ displaystyle {x } setminus {x } = {}}$. Li ${ displaystyle x}$ je podmnožinou ${ displaystyle y}$, neexistuje ${ displaystyle z}$ takhle ${ displaystyle z = x setminus y}$: ${ displaystyle forall x, y (x subseteq y leftrightarrow not existuje z (z = x setminus y))}}$
  

• Def. Mohutnost. Mohutnost označuje počet členů množiny. Mohutnost je definována pouze pro množiny: ur-elementy nemají mohutnost. Mohutnost ${ displaystyle {r }}$ je 1, bez ohledu na to, zda ${ displaystyle r}$ je množina nebo ur-prvek. Nejnižší možná mohutnost množiny FST je 1, zatímco v tradičních teoriích množin je mohutnost ${ displaystyle {}}$ je 0. ${ displaystyle { rm {karta}} (x) = n}$ znamená, že mohutnost množiny ${ displaystyle x}$ je ${ displaystyle n}$. Např. ${ displaystyle { rm {karta}} ( {y, z }) = 2}$, ${ displaystyle { rm {karta}} ( {x, y, {z } }) = 3}$, ${ displaystyle { rm {karta}} ( {x, {x }, { {x } } }) = 3}$, a ${ displaystyle { rm {karta}} ( {x, y, z, w }) = 4}$.
  

${ displaystyle { rm {karta}} (x) = 1}$ je definován jako: ${ displaystyle existuje s (s in x land forall r (r in x leftrightarrow r = s)).}$

${ displaystyle { rm {karta}} (x) geq n}$, kde ${ displaystyle n geq 2}$, je definován jako: ${ displaystyle existuje s_ {1}, s_ {2}, ldots, s_ {n} (( bigwedge _ {k = 1} ^ {n} s_ {k} in x) land bigwedge _ { a = 1} ^ {n-1} bigwedge _ {b = a + 1} ^ {n} s_ {a} neq s_ {b}).}$

${ displaystyle { rm {karta}} (x) = n}$, kde ${ displaystyle n geq 2}$ je definován jako: ${ displaystyle { rm {karta}} (x) geq n land lnot ({ rm {karta}} (x) geq n + 1).}$

• Def. Napájecí sada: ${ displaystyle forall z (z in y leftrightarrow z subseteq x),}$ označeno jako ${ displaystyle y = P (x)}$. Příklady: ${ displaystyle P ( {r }) = { {r } }}$; ${ displaystyle P ( {r, s }) = { {r }, {s }, {r, s } }}$. Sady napájení v FST neobsahují prázdnou sadu, a tedy ${ displaystyle { rm {karta}} (P (x)) = 2 ^ {{ rm {karta}} (x)} - 1}$. U FST není u stavebnic vyžadována sada napájení, zatímco např. v teorii množin ZF je axiom množiny sil nezbytný při vytváření hierarchie transfinitních množin. V ZF napájecí sady obsahují prázdnou sadu, např. jako v ${ displaystyle P ( {y, x }) = { {}, {y }, {z }, {y, z } }}$, který dělá ${ displaystyle { rm {karta}} (P (x)) = 2 ^ {{ rm {karta}} (x)}}$.
  

• Def. n-Člen a úroveň oddílů:
  

${ displaystyle r in _ {1} x}$ je definován jako ${ displaystyle r v x}$.

${ displaystyle r in _ {2} x}$ je definován jako ${ displaystyle existuje y (r v y v x)}$.

${ displaystyle r in _ {n} x}$, kde ${ displaystyle n geq 2}$, je definován jako ${ displaystyle existuje y (r v _ {n-1} y v x)}$.

Že ${ displaystyle r in _ {1} x}$ zadržení lze konstatovat tím, že ${ displaystyle r}$ existuje v první úroveň oddílu z ${ displaystyle x}$. Že ${ displaystyle r in _ {2} x}$ zadržení lze konstatovat tím, že ${ displaystyle r}$ existuje na druhé úrovni oddílu ${ displaystyle x}$. A tak dále. ^[5]

• Def. ${ displaystyle [n , m]}$ Členové.
  

${ displaystyle r in _ {[n , m]} x}$, kde ${ displaystyle n leq m}$, je definován jako: ${ displaystyle r in _ {n} x lor r in _ {n + 1} x lor r in _ {n + 2} x lor ldots lor r in _ {m} x}$.

${ displaystyle r}$ je ${ displaystyle n}$-na-${ displaystyle m}$ člen ${ displaystyle x}$ když ${ displaystyle r}$ je n-členem ${ displaystyle x}$ nebo n + 1 člen ${ displaystyle x}$ nebo ldots nebo ${ displaystyle m}$-člen ${ displaystyle x}$.

• Def. Sada oddílů. Sada oddílů, která obsahuje vše ${ displaystyle n}$-members of a set is defined as:

${ displaystyle partition_ {1} (x) = x}$.

${ displaystyle partition_ {2} (x) = y}$ je definován jako: ${ displaystyle forall r (r in _ {2} x leftrightarrow r in y)}$.

${ displaystyle partition_ {n} (x) = y}$ je definován jako: ${ displaystyle forall r (r in _ {n} x leftrightarrow r in y)}$.

• Def. Přechodné uzavření: ${ displaystyle forall r (r in _ {[1 , pořadí (x)]} x leftrightarrow r in y)}$, označeno jako ${ displaystyle y = Tc (x)}$. ${ displaystyle y = Tc (x)}$ znamená tu sadu ${ displaystyle y}$ je přechodné uzavření množiny ${ displaystyle x}$. ${ displaystyle y}$ obsahuje všechny sady a ur-prvky vstupní sady ${ displaystyle x}$, tj. celá vnitřní struktura ${ displaystyle x}$. Příklady:

${ displaystyle Tc ( { {a, b } }) = {a, b, {a, b } }.}$

${ displaystyle Tc ( { { {a } } }) = {a, {a }, { {a } } }.}$

${ displaystyle Tc ( {a, {a } }) = {a, {a } }.}$

Definice, které zahrnují funkčnost diskrétní pouhé pouhé definice

Jako tranzitivní teorie Mereologie a Booleova algebra nejsou schopni modelovat vnořené struktury. Při modelování vnořených struktur je proto srozumitelné brát FST nebo jinou nepřechodnou teorii za primární. Funkce tranzitivních teorií však nachází uplatnění i při modelování vnořených struktur. Velká část funkčnosti diskrétní pouhé (DM) může být začleněna do FST, pokud jde o vztahy, které napodobují vztahy DM.

DM pracuje s bezstrukturními agregáty, jako je ${ displaystyle ab}$ který se skládá z urs ${ displaystyle a, b}$, a ${ displaystyle abcd}$ který se skládá z urs ${ displaystyle a, b, c, d}$. DM ${ displaystyle preceq}$ a další vztahy definované v pojmech ${ displaystyle preceq}$ charakterizovat vztahy mezi agregáty, jako například v ${ displaystyle ab preceq abcd}$ a ${ displaystyle reklama preceq abcd}$. Uvádíme axiomatizaci DM a některé definice; před některými definicemi je předpona ${ displaystyle m}$ odlišit je od definic FST se stejnými názvy.

• sekera. extenzionalita ${ displaystyle x = y leftrightarrow forall w (w preceq x leftrightarrow w preceq y)}$.
• sekera. reflexivita ${ displaystyle forall x (x preceq x).}$
• sekera. tranzitivita: ${ displaystyle forall x, y, z (x preceq y preceq z rightarrow x preceq z).}$
• def. správná část: ${ Displaystyle x preceq y land y not preceq x,}$ označeno jako ${ displaystyle x prec y}$.
• def. ur-prvek: ${ displaystyle not neexistuje x (x prec y),}$ označeno jako ${ displaystyle ur (y)}$.
• sekera. diskrétnost: ${ displaystyle forall x existuje y (ur (y) land y preceq x).}$
• def. m-překrytí: ${ displaystyle existuje z (z preceq x land z preceq y),}$ označeno jako ${ displaystyle x odot y}$.
• def. m-disjunktnost: ${ Displaystyle not neexistuje z (z preceq x land z preceq y),}$ označeno jako ${ displaystyle x}$ Ó ${ displaystyle y}$.
• def. průsečík m: ${ displaystyle forall w ((w preceq x land w preceq y) leftrightarrow w preceq z),}$ označeno jako ${ displaystyle z = x mnohokrát y}$.
• def. m-unie: ${ Displaystyle y preceq z land x preceq z land forall w ((y preceq w land x preceq w) rightarrow z preceq w),}$ označeno jako ${ displaystyle z = x oplus y}$.
• def. m-rozdíl: ${ displaystyle forall w (w preceq z leftrightarrow (w preceq x land w not preceq y)),}$ označeno jako ${ displaystyle z = x ominus y}$.

Velkou část funkčnosti DM lze začlenit do FST definováním vztahu analogického s primitivem DM ${ displaystyle preceq}$ pokud jde o členství FST. Ačkoli stejný symbol '${ displaystyle preceq}$'se používá s DM a cílem je napodobit DM funkčnost, FST ${ displaystyle preceq}$ může obsahovat pouze mezi prvky modelu FST, tj. k použitým modelům FST se nepřidá nic. Jako vždy, proměnné ${ displaystyle x, y, z, w}$ označit FST sady a ${ displaystyle u}$ označuje ur-prvek.

Základní myšlenkou je, že členství a Základní vztahy FST z hlediska členství jsou strukturální, zatímco FST ${ displaystyle preceq}$ a vztahy definované z hlediska ${ displaystyle preceq}$ jsou nezávislý na struktuře nebo strukturálně neutrální. Že ${ displaystyle in}$ a ${ displaystyle podmnožina}$ jsou strukturální znamená, že jsou citlivé na vnořené struktury množin: když je známo, že ${ displaystyle u in y}$ tvrdí, že je známo, že ${ displaystyle u}$ je členem ${ displaystyle y}$ a existuje na první úrovni oddílu v systému Windows ${ displaystyle y}$, a když je známo, že ${ displaystyle x subseteq y}$ má za to, že je známo, že všichni členové ${ displaystyle x}$ jsou členy ${ displaystyle y}$ a existuje na první úrovni oddílu v systému Windows ${ displaystyle y}$. Naproti tomu, když je známo např. že ${ displaystyle u preceq y}$ platí, není známo, na jaké konkrétní úrovni ${ displaystyle y}$ dělá ${ displaystyle u}$ existovat. ${ displaystyle preceq}$ je charakterizován jako strukturálně neutrální, protože umožňuje ${ displaystyle u}$ existující na jakékoli úrovni oddílu systému Windows ${ displaystyle y}$. ${ displaystyle preceq}$ se používá při mluvení o strukturálních sadách FST strukturálně neutrálním způsobem. Podobně jako u ${ displaystyle in}$, symboly pro adresy URL se mohou objevit pouze na levé straně ${ displaystyle preceq}$. Zvažte definice:

• def. vaše část: ${ displaystyle u in _ {[1 , pořadí (y)]} y,}$ označeno jako ${ displaystyle u preceq y}$.
• def. část: ${ displaystyle forall u (u in _ {[1 , hodnost (x)]} x rightarrow u v _ {[1 , hodnost (y)]} y)}$, označeno jako ${ displaystyle x preceq y}$.
• def. správná část: ${ Displaystyle x preceq y land y not preceq x,}$ označeno jako ${ displaystyle x prec y}$.

Když ${ displaystyle u preceq y}$ drží, ${ displaystyle u}$ existuje na určité úrovni sady ${ displaystyle y}$. Například, ${ displaystyle a preceq {b, {a, b } }}$ drží. Když ${ displaystyle x preceq y}$ drží, každý ur na jakékoli úrovni ${ displaystyle x}$ existuje na určité úrovni ${ displaystyle y}$. Například, ${ displaystyle {a, b } preceq {b, {a, b } }}$ drží. V souladu s tím ${ displaystyle y not preceq x}$ znamená, že na určité úrovni je ur ${ displaystyle y}$ to není na žádné úrovni ${ displaystyle x}$. Podle definice vlastní části, např. ${ displaystyle {a, b } prec { {a, b }, {c, d } }}$ a ${ displaystyle {c, d } prec { {a, b }, {c, d } }}$ držet. Vzhledem k jakémukoli druhu hierarchie členství, například ${ displaystyle a v x v y}$, taky ${ displaystyle a preceq x preceq y}$ drží; vzhledem k tomu, jakýkoli druh hierarchie podmnožiny, jako je ${ displaystyle x podmnožina y podmnožina z}$, taky ${ displaystyle x preceq y preceq z}$ drží; daný jakýkoli druh hierarchie, která je kombinací vztahů členství a podmnožiny, jako je ${ displaystyle a v x podmnožina y}$, taky ${ displaystyle a preceq x preceq y}$ drží. Všimněte si, že ${ displaystyle x podmnožina y rightarrow x preceq y}$ drží zatímco ${ displaystyle x podmnožina y rightarrow x prec y}$ neplatí ve všech modelech FST, například v případě, že ${ displaystyle x = {a, b }}$ a ${ displaystyle y = {a, b, {a } }}$. Fine (2010, s. 579) konstatuje, že také řetězce vztahů jako např ${ displaystyle r in v podmnožina y prec w}$ může být použit; tyto řetězce nyní dostaly axiomatický základ.

Následující překlady DM axiomů do terminologie FST ukazují, že FST ${ displaystyle preceq}$ je v souladu s DM axiomy reflexivity, tranzitivity a diskrétnosti, ale tuto extenzionalitu DM je třeba upravit změnou jednoho z jejích vztahů ekvivalence na implikaci. To připomíná, že sady FST jsou strukturální, zatímco agregáty DM jsou strukturální.

• Roztažnost: ${ displaystyle x = y leftrightarrow forall w (w preceq x leftrightarrow w preceq y)}$. Tento axiom neplatí, protože ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ mohou být neidentické sady, i když každý ur v jakékoli úrovni ${ displaystyle x}$ se nachází na určité úrovni ${ displaystyle y}$ a naopak, například když ${ displaystyle x = { {a, b }, {c, d } }}$ a ${ displaystyle y = { {a, c }, {b, d } }}$. Nicméně, ${ displaystyle x = y rightarrow forall w (w preceq x leftrightarrow w preceq y)}$ drží, pro identitu ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ znamená, že každý ur, který se nachází na určité úrovni ${ displaystyle x}$ se nachází na určité úrovni ${ displaystyle y}$ a naopak.
• reflexivita: ${ displaystyle forall x (x preceq x).}$ Každý ur, který se nachází na určité úrovni ${ displaystyle x}$ se nachází na určité úrovni ${ displaystyle x}$.
• tranzitivita: ${ displaystyle forall x, y, z (x preceq y preceq z rightarrow x preceq z).}$ Pokud každý ur, který se nachází na nějaké úrovni ${ displaystyle x}$ se nachází na určité úrovni ${ displaystyle y}$ a každý ur, který se nachází na nějaké úrovni ${ displaystyle y}$ se nachází na určité úrovni ${ displaystyle z}$, pak každý ur, který se nachází na určité úrovni ${ displaystyle x}$ se nachází na určité úrovni ${ displaystyle z}$.
• diskrétnost: ${ displaystyle forall x existuje u (u preceq x).}$ Každá sada obsahuje alespoň jednu ur na určité úrovni.

Pro ilustraci, jak fungují FST ${ displaystyle preceq}$ lze použít jako strukturně neutrální vztah při mluvení o strukturních množinách, zvažte překlady příkladů (1-2), kde se aplikuje pouze pouhá, do (1'-2 '), kde FST ${ displaystyle preceq}$ se uplatňuje společně s členstvím.

1. Klika je součástí dveří; dveře jsou součástí domu; ale rukojeť není součástí domu .:
1 '. Klika je součástí dveří a součástí dveří: klika ${ displaystyle preceq}$ dveře; Rukojeť ${ displaystyle in}$ dveře. Dveře jsou součástí domu a členem domu: dveře ${ displaystyle preceq}$ Dům; dveře ${ displaystyle in}$ Dům. Rukojeť je součástí domu, ale není členem domu: rukojeť ${ displaystyle preceq}$ Dům; Rukojeť ${ displaystyle not in}$ Dům.:
${ displaystyle door = {rukojeť, ldots }.}$:
${ displaystyle house = {dveře, ldots } = { {rukojeť, ldots }, ldots }.}$

2. Četa je součástí roty; rota je součástí praporu; ale četa není součástí praporu .:
2 '. Četa je součástí roty a členem roty; rota je součástí praporu a příslušníkem praporu; četa je součástí praporu, ale není příslušníkem praporu .:

Tak jako ${ displaystyle preceq}$ byl definován, všechny vztahy DM, které jsou definovány v termínech ${ displaystyle preceq}$ lze považovat za definice FST, včetně m-overlap, m-disjointness, m-intersection, m-union and m-difference.

• Def. m-překrytí: ${ displaystyle existuje r (r preceq x land r preceq y),}$ označeno jako ${ displaystyle x odot y}$. Alespoň jeden ur na určité úrovni ${ displaystyle x}$ se nachází na určité úrovni ${ displaystyle y}$.
• Def. m-disjunktnost: ${ displaystyle not neexistuje r (r preceq x land r preceq y),}$ označeno jako ${ displaystyle x}$ Ó ${ displaystyle y}$. Žádné ur na žádné úrovni ${ displaystyle x}$ se nachází v jakékoli úrovni ${ displaystyle y}$.
• Def. průsečík m: ${ displaystyle forall w ((w preceq x land w preceq y) leftrightarrow w preceq z),}$ označeno jako ${ displaystyle z = x mnohokrát y}$. ${ displaystyle z}$ je sada všech adres URL, které se nacházejí na některých úrovních obou ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$.
• Def. m-unie: ${ Displaystyle y preceq z land x preceq z land forall w ((y preceq w land x preceq w) rightarrow z preceq w),}$ označeno jako ${ displaystyle z = x oplus y}$. ${ displaystyle z}$ je sada všech adres URL na jakékoli úrovni ${ displaystyle x}$ nebo ${ displaystyle y}$ nebo oboje.
• Def. m-rozdíl: ${ displaystyle forall w (w preceq z leftrightarrow (w preceq x land w not preceq y)),}$ označeno jako ${ displaystyle z = x ominus y}$. ${ displaystyle z}$ je sada všech adres URL, které jsou na určité úrovni ${ displaystyle x}$ ale ne na žádné úrovni ${ displaystyle y}$.

Pokud jde o definice ${ displaystyle m}$-průsečík, ${ displaystyle m}$-union a ${ displaystyle m}$- rozdíl, v kompletních modelech FST všechny sady ${ displaystyle z}$ existovat. U některých neúplných modelů FST některé ${ displaystyle z}$ neexistuje. Například kdy ${ displaystyle {a, b }}$ a ${ displaystyle {b, c }}$ jsou jediné sady v použitém modelu, definice ${ displaystyle m}$-intersection říká, že ${ displaystyle {a, b } jiné časy {b, c } = {b }}$, díky čemuž se definice jeví jako axiom. Jak je uvedeno výše, definice není interpretována jako axiom, ale pouze jako vzorec, který to říká ${ displaystyle b}$ se nachází na určité úrovni obou ${ displaystyle {a, b }}$ a ${ displaystyle {b, c }}$.

Poznámky