Konečná von Neumannova algebra - Finite von Neumann algebra

v matematika, a konečná von Neumannova algebra je von Neumannova algebra ve kterém každý izometrie je unitární. Jinými slovy, pro operátora PROTI v konečné von Neumannově algebře, pokud ${displaystyle V ^ {*} V = I}$, pak ${displaystyle VV ^ {*} = I}$. Z hlediska teorie srovnání projekcí, operátor identity není (Murray-von Neumann) ekvivalentní žádné řádné podprojekci v von Neumannově algebře.

Vlastnosti

Nechat ${displaystyle {mathcal {M}}}$ označit konečnou von Neumannovu algebru s centrum ${displaystyle {mathcal {Z}}}$. Jednou ze základních charakteristických vlastností konečných von Neumannův algeber je existence stopy s centrální hodnotou. Tohle je normální pozitivně ohraničená mapa ${displaystyle au: {mathcal {M}} o {mathcal {Z}}}$ s vlastnostmi:

• ${displaystyle au (AB) = au (BA), A, Bin {mathcal {M}}}$,
• -li ${displaystyle Ageq 0}$ a ${displaystyle au (A) = 0}$ pak ${displaystyle A = 0}$,
• ${displaystyle au (C) = C}$ pro ${displaystyle Cin {mathcal {Z}}}$,
• ${displaystyle au (CA) = C au (A)}$ pro ${displaystyle Ain {mathcal {M}}}$ a ${displaystyle Cin {mathcal {Z}}}$.

Příklady

Konečně-dimenzionální von Neumannovy algebry

Konečně-dimenzionální von Neumannovy algebry lze charakterizovat pomocí Wedderburn teorie o polojednoduché algebry.Nechat C^{n × n} být n × n matice se složitými záznamy. A von Neumannova algebra M je sebeadjungovaná subalgebra v C^{n × n} takhle M obsahuje operátor identity Já v C^{n × n}.

Každý takový M jak je definováno výše, je a polojednoduchá algebra, tj. neobsahuje žádné nilpotentní ideály. Předpokládat M ≠ 0 spočívá v nilpotentním ideálu M. Od té doby M * ∈ M podle předpokladu máme M * M, pozitivní semidefinitní matice, spočívá v tom nilpotentním ideálu. Z toho vyplývá (M * M)^k = 0 pro některé k. Tak M * M = 0, tj. M = 0.

The centrum von Neumannovy algebry M bude označen Z(M). Od té doby M je self-adjoint, Z(M) je sama o sobě (komutativní) von Neumannova algebra. Von Neumannova algebra N se nazývá a faktor -li Z(N) je jednorozměrný, to znamená, Z(N) se skládá z násobků identity Já.

Teorém Každá konečně-dimenzionální von Neumannova algebra M je přímý součet m faktory, kde m je rozměr Z(M).

Důkaz: Podle Wedderburnovy teorie polojednodušých algeber, Z(M) obsahuje konečnou ortogonální množinu idempotentů (projekcí) {P_i} takové P_iP_j = 0 pro i ≠ j, Σ P_i = Já, a

${displaystyle Z (mathbf {M}) = igoplus _ {i} Z (mathbf {M}) P_ {i}}$

kde každý Z(M) P_i je komutativní jednoduchá algebra. Každá složitá jednoduchá algebra je izomorfní s algebrou s úplnou maticí C^{k × k} pro některé k. Ale Z(M) P_i je komutativní, tedy jednorozměrný.

Projekce P_i "diagonalizuje" M přirozeným způsobem. Pro M ∈ M, M lze jednoznačně rozložit na M = Σ MP_i. Proto,

${displaystyle {mathbf {M}} = igoplus _ {i} {mathbf {M}} P_ {i}.}$

To je vidět Z(MP_i) = Z(M) P_i. Tak Z(MP_i) je jednorozměrný a každý MP_i je faktor. To dokazuje nárok.

Pro obecné von Neumannovy algebry je přímý součet nahrazen přímý integrál. Výše uvedené je zvláštní případ centrální rozklad von Neumannův algeber.

Abelian von Neumann algebry

Typ ${displaystyle II_ {1}}$ faktory

Reference

• Kadison, R. V .; Ringrose, J. R. (1997). Základy teorie operátora Algebras, sv. II: Pokročilá teorie. AMS. p. 676. ISBN  978-0821808207.

• Sinclair, A. M .; Smith, R. R. (2008). Konečný von Neumann Algebras a Masas. Cambridge University Press. p. 410. ISBN  978-0521719193.