Věta o konstrukci svazku vláken - Fiber bundle construction theorem

v matematika, věta o konstrukci svazku vláken je teorém který konstruuje a svazek vláken z daného základního prostoru, vlákna a vhodné sady přechodové funkce. Věta také uvádí podmínky, za kterých jsou dva takové svazky izomorfní. Věta je důležitá v přidružený balíček konstrukce, kde jeden začíná daným svazkem a chirurgicky nahradí vlákno novým prostorem, přičemž všechna ostatní data zůstanou stejná.

Formální prohlášení

Nechat X a F být topologické prostory a nechte G být topologická skupina s kontinuální akce vlevo na F. Vzhledem k otevřete kryt {U_i} z X a sada spojité funkce

${displaystyle t_ {ij}: U_ {i} čepice U_ {j} o G}$

definované na každém neprázdném překrytí, takže podmínka cocycle

${displaystyle t_ {ik} (x) = t_ {ij} (x) t_ {jk} (x) qquad forall xin U_ {i} cap U_ {j} cap U_ {k}}$

drží, existuje svazek vláken E → X s vláknem F a strukturní skupina G to je trivializovatelné přes {U_i} s přechodovými funkcemi t_ij.

Nechat E′ Být další svazek vláken se stejným základním prostorem, vláknem, strukturní skupinou a bagatelizujícími sousedstvími, ale přechodové funkce t′_ij. Pokud akce G na F je věřící, pak E' a E jsou izomorfní kdyby a jen kdyby existují funkce

${displaystyle t_ {i}: U_ {i} o G}$

takhle

${displaystyle t '_ {ij} (x) = t_ {i} (x) ^ {- 1} t_ {ij} (x) t_ {j} (x) qquad forall xin U_ {i} cap U_ {j} .}$

Brát t_i být konstantní funkcí identity v G, vidíme, že dva svazky vláken se stejnou základnou, vláknem, strukturní skupinou, bagatelizujícími sousedstvími a přechodovými funkcemi jsou izomorfní.

Podobná věta platí v hladké kategorii, kde X a Y jsou hladké potrubí, G je Lež skupina s plynulou akcí vlevo Y a mapy t_ij jsou hladké.

Konstrukce

Důkaz věty je konstruktivní. To znamená, že ve skutečnosti vytváří svazek vláken s danými vlastnostmi. Jeden začíná tím, že disjunktní unie z produktové prostory U_i × F

${displaystyle T = coprod _ {iin I} U_ {i} imes F = {(i, x, y): iin I, xin U_ {i}, yin F}}$

a poté vytvoří kvocient podle vztah ekvivalence

${displaystyle (j, x, y) sim (i, x, t_ {ij} (x) cdot y) qquad forall xin U_ {i} cap U_ {j}, jin F.}$

Celkový prostor E svazku je T/ ~ a projekce π: E → X je mapa, která odesílá třídu ekvivalence (i, X, y) až X. Místní bagatelizace

${displaystyle phi _ {i}: pi ^ {- 1} (U_ {i}) o U_ {i} imes F}$

jsou pak definovány

${displaystyle phi _ {i} ^ {- 1} (x, y) = [(i, x, y)].}$

Přidružený balíček

Nechat E → X svazek vláken s vlákny F a strukturní skupina Ga nechte F′ Být další vlevo G-prostor. Lze vytvořit přidružený balíček E′ → X s vláknem F′ A strukturní skupina G provedením jakékoli místní bagatelizace E a nahrazení F podle F′ V konstrukční větě. Pokud někdo vezme F' být G s akcí levého násobení pak jeden získá přidružené hlavní balíček.

Reference

• Sharpe, R. W. (1997). Diferenciální geometrie: Cartanovo zobecnění Kleinova programu Erlangen. New York: Springer. ISBN  0-387-94732-9.
• Steenrod, Norman (1951). Topologie svazků vláken. Princeton: Princeton University Press. ISBN  0-691-00548-6. Viz část I, §2.10 a §3.