Exsphere (mnohostěn) - Exsphere (polyhedra)
v geometrie, exsphere plochy pravidelného mnohostěnu je koule mimo mnohostěn, která se dotýká obličeje a rovin definovaných prodloužením sousedních ploch směrem ven. Je tečna k obličeji externě a tečna k sousedním plochám interně.
Je to trojrozměrný ekvivalent excircle.
Koule je obecněji dobře definována pro jakoukoli plochu, která je pravidelným polygonem a je ohraničena plochami se stejnými vzepětími na sdílených hranách. Tváře polopravidelných mnohostěnů často mají různé typy obličejů, které u každého typu obličeje definují různé velikosti.
Parametry
Exsféra se dotýká tváře pravidelného polyedronu ve středu oblouku této tváře. Pokud je označen poloměr exsphere rnapř, poloměr tohoto kruhu rva úhel vzepětí mezi obličejem a prodloužením sousedního obličeje δ, střed exsphereis umístěný z pohledu uprostřed jednoho okraje povrchu půlícím dvojhranným úhlem. Proto
δ je 180stupňový doplněk vnitřního úhlu tváří v tvář.
Čtyřstěn
Aplikováno na geometrii Čtyřstěn délky hrany A, máme poloměr kruhu rv = A/(2√3) (odvozeno dvojnásobným dělením oblasti obličeje (A2√3)/4 přes obvod 3A), úhel vzepětí δ = π - arccos (1/3)a následně rnapř = A/√6.
Krychle
Poloměr exspher 6 tváří Krychle je stejný jako poloměr vepsané koule, protože δ a jeho doplněk jsou stejné, 90 stupňů.
Dvacetistěnu
Úhel vzepětí použitelný pro Dvacetistěnu je odvozeno uvažováním souřadnic dvou trojúhelníků se společnou hranou, pro příklad jedna tvář s verticesat
druhý v
kde G je Zlatý řez. Odečtení souřadnic vrcholů definuje okrajové vektory,
první tváře a
toho druhého. Křížové výrobky okrajů první plochy a druhé plochy poddají (nenormalizovanou) plochu normální vektory
první a
druhé tváře, pomocí G2= 1 + g.v Tečkovaný produkt mezi těmito dvěma normály obličeje se získá kosinus úhlu vzepětí,
Pro dvacetistěn o délce hrany A, poloměr incircle trojúhelníkových ploch je rv = A/(2√3)a nakonec poloměr 20 exspher
Viz také
externí odkazy
- Gerber, Leon (1977). „Associated and skew-orthologic simplexes“. Trans. Dopoledne. Matematika. Soc. 231 (1): 47–63. doi:10.1090 / S0002-9947-1977-0445393-6. JSTOR 1997867. PAN 0445393.
- Hajja, Mowaffaq (2005). „Střediska Gergonne a Nagel n-dimenzionálního simplexu“. J. Geom. 83 (1–2): 46–56. doi:10.1007 / s00022-005-0011-3.