Eulersova věta (diferenciální geometrie) - Eulers theorem (differential geometry) - Wikipedia

V matematický pole diferenciální geometrie, Eulerova věta je výsledek na zakřivení z křivky na povrchu. Věta stanoví existenci hlavní zakřivení a související hlavní směry které udávají směry, ve kterých se povrch nejvíce a nejméně zakřivuje. Věta je pojmenována pro Leonhard Euler kdo dokázal teorém v (Euler 1760 ).

Přesněji řečeno M být povrch v trojrozměrném Euklidovský prostor, a p bod na M. A normální letadlo přes p je rovina procházející bodem p obsahující normální vektor na M. Prostřednictvím každého (jednotka ) tečný vektor na M na p, prochází normální letadlo PX který vystřihne křivku M. Ta křivka má určité zakřivení κX když je považována za křivku uvnitř PX. Pokud ne všechny κX jsou stejné, existuje nějaký jednotkový vektor X1 pro který k1 = κX1 je co největší a další jednotkový vektor X2 pro který k2 = κX2 je co nejmenší. Eulerova věta to tvrdí X1 a X2 jsou kolmý a to navíc, pokud X je libovolný vektor, který svírá úhel θ s X1, pak

 

 

 

 

(1)

Množství k1 a k2 se nazývají hlavní zakřivení, a X1 a X2 jsou odpovídající hlavní směry. Rovnice (1) se někdy nazývá Eulerova rovnice (Eisenhart 2004, str. 124).

Viz také

Reference

  • Eisenhart, Luther P. (2004), Pojednání o diferenciální geometrii křivek a povrchůDover, ISBN  0-486-43820-1 Celý text z roku 1909 (nyní bez autorských práv)
  • Euler, Leonhard (1760), „Dobíjí sur la courbure des povrchy“, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin (publikováno 1767), 16: 119–143.
  • Spivak, Michael (1999), Komplexní úvod do diferenciální geometrie, svazek II, Publikovat nebo zahynout tisk, ISBN  0-914098-71-3