Euklidova – Eulerova věta - Euclid–Euler theorem

The Euklidova – Eulerova věta je teorém v matematice, která souvisí perfektní čísla na Mersenne připraví. Uvádí, že sudé číslo je dokonalé právě tehdy, má-li formu 2^p−1(2^p − 1), kde 2^p − 1 je prvočíslo. Věta je pojmenována po Euklid a Leonhard Euler.

Předpokládalo se, že Mersennových prvočísel je nekonečně mnoho. Ačkoli pravda tohoto domněnky zůstává neznámá, je podle věty Euclid-Euler ekvivalentní domněnce, že existuje nekonečně mnoho dokonce dokonalých čísel. Není však také známo, zda existuje i jediné liché dokonalé číslo.^[1]

Prohlášení

Perfektní číslo je a přirozené číslo který se rovná součtu jeho správných dělitele, čísla, která jsou menší než to a rozdělit je rovnoměrně (s zbytek nula).

Například správné dělitele 6 jsou 1, 2 a 3, což je součet 6, takže 6 je perfektní. Mersenne prvočíslo je prvočíslo formuláře M_p = 2^p − 1; aby číslo tohoto formuláře bylo prvočíslo, p samo o sobě musí být také prvočíslo. Euclidova-Eulerova věta uvádí, že sudé přirozené číslo je dokonalé právě tehdy, má-li formu 2^p−1M_p, kde M_p je Mersenne prime.^[1]

Dějiny

Euclid to dokázal 2^p−1(2^p − 1) je dokonce perfektní číslo kdykoli 2^p − 1 je prvočíslo (Euclid, Prop. IX.36). Toto je konečný výsledek dne teorie čísel v Euklidova Elementy; pozdější knihy v Elementy místo toho znepokojení iracionální čísla, objemová geometrie a Zlatý řez. Euclid vyjadřuje výsledek konstatováním, že pokud je konečný geometrické řady počínaje 1 s poměrem 2 má hlavní částku P, pak se tato částka vynásobí posledním termínem T v seriálu je perfektní. Vyjádřeno v těchto podmínkách, částka P konečné série je Mersenne prime 2^p − 1 a poslední termín T v sérii je síla dvou 2^p−1. Euclid to dokazuje PT je perfektní pozorováním, že geometrická řada s poměrem 2 začínající na Pse stejným počtem termínů je úměrný původní sérii; proto, protože původní série činí P = 2T − 1, druhá řada se rovná P(2T − 1) = 2PT − P, a obě série společně přidávají 2PT, dvojnásobek předpokládaného dokonalého čísla. Tyto dvě řady jsou však od sebe navzájem nesouvislé a (podle prvenství P) vyčerpat všechny dělitele PT, tak PT má dělitele, jejichž součet je 2PT, což ukazuje, že je to perfektní.^[2]

Více než tisíciletí po Euklidovi, Alhazen C. 1000 CE domyslel si to každý dokonce dokonalé číslo je ve formě 2^p−1(2^p − 1) kde 2^p − 1 je předseda vlády, ale nebyl schopen tento výsledek prokázat.^[3]

To nebylo až do 18. století Leonhard Euler dokázal, že vzorec 2^p−1(2^p − 1) přinese všechna i dokonalá čísla.^[1][4] Existuje tedy vztah jedna k jedné mezi dokonce dokonalými čísly a Mersennovými prvočísly; každý Mersenne prime generuje jedno dokonce dokonalé číslo a naopak.

Důkaz

Eulerův důkaz je krátký^[1] a záleží na tom, že součet dělitelů funkce σ je multiplikativní; to je, pokud A a b jsou dva relativně prime celá čísla σ(ab) = σ(A)σ(b). Aby byl tento vzorec platný, musí součet dělitelů čísla zahrnovat samotné číslo, nejen správné dělitele. Číslo je dokonalé právě tehdy, je-li jeho součet dělitelů dvojnásobkem jeho hodnoty.

Dostatečnost

Jeden směr věty (část již prokázaná Euklidem) bezprostředně vyplývá z multiplikativní vlastnosti: každé Mersennovo prvočíslo vede k dokonce dokonalému číslu. Když 2^p − 1 je hlavní,

${ displaystyle sigma (2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)) = sigma (2 ^ {p-1}) sigma (2 ^ {p} -1).}$

Dělitelé 2^p−1 jsou 1, 2, 4, 8, ..., 2^p−1. Součet těchto dělitelů je a geometrické řady jehož součet je 2^p − 1. Další, protože 2^p − 1 je hlavní, jeho jedinými děliteli jsou 1 a sám, takže součet jeho dělitelů je 2^p.

Jejich kombinací,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sigma (2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)) & = sigma (2 ^ {p-1}) sigma (2 ^ {p} -1) & = (2 ^ {p} -1) (2 ^ {p}) & = 2 (2 ^ {p-1}) (2 ^ {p} -1). End { zarovnaný}}}$

Proto, 2^p−1(2^p − 1) je perfektní.^[5][6][7]

Nutnost

V opačném směru předpokládejme, že bylo dáno sudé dokonalé číslo, a částečně ho započítáme jako 2^kX, kde X je zvláštní. Pro 2^kX aby byl dokonalý, musí být součet jeho dělitelů dvojnásobkem jeho hodnoty:

${ displaystyle 2 ^ {k + 1} x = sigma (2 ^ {k} x) = (2 ^ {k + 1} -1) sigma (x).}$

(∗)

Zvláštní faktor 2^k+1 − 1 na pravé straně (∗) je alespoň 3 a musí se rozdělit X, jediný zvláštní faktor na levé straně, takže y = X/(2^k+1 − 1) je správným dělitelem X. Dělení obou stran (∗) společným faktorem 2^k+1 − 1 a s přihlédnutím ke známým dělitelům X a y z X dává

${ displaystyle 2 ^ {k + 1} y = sigma (x) = x + y + { text {další dělitelé}} = 2 ^ {k + 1} y + { text {další dělitelé}}.}$

Aby byla tato rovnost pravdivá, nemohou existovat žádní další dělitelé. Proto, y musí být 1, a X musí být vrchol formy 2^k+1 − 1.^[5][6][7]

Reference