Model opravy chyb - Error correction model

An model opravy chyb (ECM) patří do kategorie více časové řady modely nejčastěji používané pro data, kde základní proměnné mají dlouhodobý stochastický trend, známý také jako kointegrace. ECM jsou teoreticky řízený přístup užitečný pro odhad krátkodobých i dlouhodobých účinků jedné časové řady na druhou. Termín oprava chyby souvisí se skutečností, že odchylka posledního období od dlouhodobé rovnováhy je chyba, ovlivňuje jeho krátkodobou dynamiku. ECM tedy přímo odhadují rychlost, jakou se závislá proměnná vrací do rovnováhy po změně v jiných proměnných.

Historie ECM

Vánoce (1926) a Granger a Newbold (1974) jako první upozornili na problém falešná korelace a najít řešení, jak to řešit v analýze časových řad.^[1]^[2] Vzhledem k dvěma zcela nesouvisejícím, ale integrovaným (nestacionárním) časovým řadám regresní analýza jeden na druhém bude mít tendenci vytvářet zjevně statisticky významný vztah, a tak se výzkumník může mylně domnívat, že našel důkaz skutečného vztahu mezi těmito proměnnými. Obyčejné nejmenší čtverce již nebude konzistentní a běžně používané statistiky testů budou neplatné. Zejména, Simulace Monte Carlo Ukažte, že jeden bude velmi vysoký R na druhou, velmi vysoký jedinec t-statistika a nízká Statistika Durbin – Watson. Technicky vzato, Phillips (1986) dokázal, že odhady parametrů nebudou konvergovat v pravděpodobnosti, zachytit se bude lišit a sklon bude mít nedegenerované rozdělení, jak se zvětšuje velikost vzorku.^[3] Může však existovat společný stochastický trend k oběma sériím, o které se výzkumný pracovník skutečně zajímá, protože odráží dlouhodobý vztah mezi těmito proměnnými.

Vzhledem ke stochastické povaze trendu není možné rozdělit integrované řady na deterministické (předvídatelné) trend a stacionární řada obsahující odchylky od trendu. I když je to deterministicky na škodu náhodné procházky falešné korelace se nakonec objeví. Detrending tedy nevyřeší problém s odhadem.

Aby bylo možné stále používat Přístup Box – Jenkins, jeden by mohl odlišit řady a pak odhadnout modely, jako je ARIMA, vzhledem k tomu, že mnoho běžně používaných časových řad (např. v ekonomii) se v prvních rozdílech jeví jako stacionární. Prognózy z takového modelu budou i nadále odrážet cykly a sezónnost, které jsou v datech přítomny. Veškeré informace o dlouhodobých úpravách, které mohou obsahovat údaje v úrovních, jsou však vynechány a dlouhodobější prognózy budou nespolehlivé.

To vedlo Sargan (1964) vyvinout metodiku ECM, která zachovává informace o úrovni.^[4]^[5]

Odhad

V literatuře je známo několik metod pro odhad vylepšeného dynamického modelu, jak je popsáno výše. Mezi ně patří dvoukrokový přístup Engle a Granger, odhad jejich ECM v jednom kroku a vektorový VECM pomocí Johansenova metoda.^[6]

Dvoukrokový přístup Engle a Granger

Prvním krokem této metody je předem otestovat jednotlivé časové řady, které jeden používá, aby se potvrdilo, že jsou nestacionární na prvním místě. To lze provést standardně jednotkový kořen DF testování a Test ADF (k vyřešení problému sériově korelovaných chyb). Vezměte případ dvou různých řad ${ displaystyle x_ {t}}$ a ${ displaystyle y_ {t}}$ . Pokud jsou oba I (0), bude platit standardní regresní analýza. Pokud jsou integrovány v jiném pořadí, např. jeden je I (1) a druhý I (0), jeden musí transformovat model.

Pokud jsou oba integrovány do stejného řádu (obvykle I (1)), můžeme odhadnout model ECM formuláře

{ displaystyle A (L) , Delta y_ {t} = gamma + B (L) , Delta x_ {t} + alpha (y_ {t-1} - beta _ {0} - beta _ {1} x_ {t-1}) + nu _ {t}.}

Li obě proměnné jsou integrovány a tento ECM existuje, jsou kointegrovány teorémem reprezentace Engle – Granger.

Druhým krokem je pak odhad modelu pomocí obyčejné nejmenší čtverce: ${ displaystyle y_ {t} = beta _ {0} + beta _ {1} x_ {t} + varepsilon _ {t}}$ Není-li regrese falešná, jak je stanoveno výše popsanými kritérii testu, Obyčejné nejmenší čtverce bude nejen platný, ale ve skutečnosti super konzistentní (Stock, 1987). Pak předpokládané zbytky ${ displaystyle { hat { varepsilon _ {t}}} = y_ {t} - beta _ {0} - beta _ {1} x_ {t}}$ z této regrese jsou uloženy a použity v regresi diferencovaných proměnných plus zpožděný chybový termín

{ displaystyle A (L) , Delta y_ {t} = gamma + B (L) , Delta x_ {t} + alpha { hat { varepsilon}} _ {t-1} + nu _ {t}.}

Jeden může poté otestovat kointegraci pomocí standardu t-statistika na ${ displaystyle alpha}$ Ačkoli je tento přístup snadno použitelný, je zde řada problémů:

Jednorozměrné kořenové testy jednotky použité v první fázi jsou nízké statistická síla
Volba závislé proměnné v první fázi ovlivňuje výsledky testu, tj. Potřebujeme slabou exogenitu ${ displaystyle x_ {t}}$ jak je určeno Grangerova kauzalita
Jeden může mít potenciálně malou zkreslení vzorku
Kointegrační test zapnut ${ displaystyle alpha}$ nenásleduje standardní distribuci
Platnost dlouhodobých parametrů v první regresní fázi, kdy se získá rezidua, nelze ověřit, protože distribuce odhadu OLS kointegračního vektoru je velmi komplikovaná a nenormální
Lze zkoumat maximálně jeden kointegrační vztah.^{[Citace je zapotřebí ]}

VECM

Výše popsaný přístup Engle – Granger trpí řadou slabin. Jmenovitě je omezena pouze na jednu rovnici s jednou proměnnou označenou jako závislá proměnná, vysvětlenou jinou proměnnou, která se považuje za slabě exogenní pro sledované parametry. Spoléhá se také na předběžné testování časové řady, aby se zjistilo, zda proměnné jsou I (0) nebo I (1). Tyto slabiny lze řešit pomocí Johansenova postupu. Mezi jeho výhody patří to, že předběžné testování není nutné, může existovat řada kointegračních vztahů, všechny proměnné jsou považovány za endogenní a jsou možné testy týkající se dlouhodobých parametrů. Výsledný model je známý jako vektorový model opravy chyb (VECM), protože přidává funkce opravy chyb k vícefaktorovému modelu známému jako vektorové autoregrese (VAR). Postup se provádí následovně:

Krok 1: Odhadněte neomezený VAR zahrnující potenciálně nestacionární proměnné
Krok 2: Vyzkoušejte kointegraci pomocí Johansenův test
Krok 3: Vytvořte a analyzujte VECM.

Příklad ECM

Myšlenku kointegrace lze demonstrovat v jednoduchém makroekonomickém prostředí. Předpokládejme, spotřeba ${ displaystyle C_ {t}}$ a disponibilní příjem ${ displaystyle Y_ {t}}$ jsou makroekonomické časové řady, které spolu dlouhodobě souvisejí (viz Hypotéza stálého příjmu ). Přesněji řečeno průměrný sklon ke spotřebě být 90%, tedy z dlouhodobého hlediska ${ displaystyle C_ {t} = 0,9Y_ {t}}$ . Z pohledu ekonometrika tento dlouhodobý vztah (aka kointegrace) existuje, pokud chyby z regrese ${ displaystyle C_ {t} = beta Y_ {t} + varepsilon _ {t}}$ plocha stacionární série, ačkoli ${ displaystyle Y_ {t}}$ a ${ displaystyle C_ {t}}$ jsou nestacionární. Předpokládejme také, že pokud ${ displaystyle Y_ {t}}$ náhle se změní o ${ displaystyle Delta Y_ {t}}$ , pak ${ displaystyle C_ {t}}$ změny o ${ displaystyle Delta C_ {t} = 0,5 , Delta Y_ {t}}$ , to znamená, mezní sklon ke spotřebě se rovná 50%. Náš poslední předpoklad je, že rozdíl mezi aktuální a rovnovážnou spotřebou klesá každé období o 20%.

V tomto nastavení změna ${ displaystyle Delta C_ {t} = C_ {t} -C_ {t-1}}$ v úrovni spotřeby lze modelovat jako ${ displaystyle Delta C_ {t} = 0,5 , Delta Y_ {t} -0,2 (C_ {t-1} -0,9Y_ {t-1}) + varepsilon _ {t}}$ . První pojem v RHS popisuje krátkodobý dopad změny v ${ displaystyle Y_ {t}}$ na ${ displaystyle C_ {t}}$ , druhý člen vysvětluje dlouhodobou gravitaci směrem k rovnovážnému vztahu mezi proměnnými a třetí člen odráží náhodné šoky, které systém přijímá (např. šoky důvěry spotřebitelů, které ovlivňují spotřebu). Chcete-li zjistit, jak model funguje, zvažte dva druhy šoků: trvalé a přechodné (dočasné). Pro jednoduchost, pojďme ${ displaystyle varepsilon _ {t}}$ být nula pro všechna t. Předpokládejme v období t - 1 je systém v rovnováze, tj. ${ displaystyle C_ {t-1} = 0,9Y_ {t-1}}$ . Předpokládejme, že v období t ${ displaystyle Y_ {t}}$ zvýší o 10 a poté se vrátí na předchozí úroveň. Pak ${ displaystyle C_ {t}}$ první (v období t) se zvýší o 5 (polovina z 10), ale po druhém období ${ displaystyle C_ {t}}$ začíná klesat a konverguje k původní úrovni. Naproti tomu, pokud šok ${ displaystyle Y_ {t}}$ je tedy trvalé ${ displaystyle C_ {t}}$ pomalu konverguje na hodnotu, která přesahuje počáteční hodnotu ${ displaystyle C_ {t-1}}$ do 9.

Tato struktura je společná pro všechny modely ECM. V praxi ekonometrizi často nejprve odhadnou kointegrační vztah (rovnici v úrovních) a poté ji vloží do hlavního modelu (rovnice v rozdílech).

Reference

^ Yule, Georges Udny (1926). „Proč někdy dostáváme nesmyslné korelace mezi časovými řadami? - Studie vzorkování a povaha časových řad“. Journal of the Royal Statistical Society. 89 (1): 1–63. JSTOR 2341482.
^ Granger, C.W.J .; Newbold, P. (1978). "Falešná regrese v ekonometrii". Journal of Econometrics. 2 (2): 111–120. JSTOR 2231972.
^ Phillips, Peter C.B. (1985). „Porozumění falešným regresím v ekonometrii“ (PDF). Cowles Foundation Discussion Papers 757. Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University.
^ Sargan, J. D. (1964). „Mzdy a ceny ve Velké Británii: Studie ekonometrické metodologie“, 16, 25–54. v Ekonometrická analýza pro národní ekonomické plánování, vyd. P. E. Hart, G. Mills a J. N. Whittaker. London: Butterworths
^ Davidson, J. E. H .; Hendry, D. F.; Srba, F .; Yeo, J. S. (1978). „Ekonometrické modelování souhrnného vztahu časových řad mezi výdaji a příjmy spotřebitelů ve Velké Británii“. Ekonomický deník. 88 (352): 661–692. JSTOR 2231972.
^ Engle, Robert F .; Granger, Clive W. J. (1987). "Kointegrace a oprava chyb: Reprezentace, odhad a testování". Econometrica. 55 (2): 251–276. JSTOR 1913236.

Další čtení

Dolado, Juan J .; Gonzalo, Jesús; Marmol, Francesc (2001). "Kointegrace". V Baltagi, Badi H. (ed.). Společník teoretické ekonometrie. Oxford: Blackwell. str.634 –654. doi:10.1002 / 9780470996249.ch31. ISBN 0-631-21254-X.
Enders, Walter (2010). Aplikovaná ekonometrická časová řada (Třetí vydání.). New York: John Wiley & Sons. str. 272–355. ISBN 978-0-470-50539-7.
Lütkepohl, Helmut (2006). Nový úvod do analýzy více časových řad. Berlín: Springer. str.237 –352. ISBN 978-3-540-26239-8.
Martin, Vance; Hurn, Stan; Harris, David (2013). Ekonometrické modelování s časovými řadami. New York: Cambridge University Press. 662–711. ISBN 978-0-521-13981-6.

[1] Yule, Georges Udny (1926). „Proč někdy dostáváme nesmyslné korelace mezi časovými řadami? - Studie vzorkování a povaha časových řad“. Journal of the Royal Statistical Society. 89 (1): 1–63. JSTOR 2341482.

[2] Granger, C.W.J .; Newbold, P. (1978). "Falešná regrese v ekonometrii". Journal of Econometrics. 2 (2): 111–120. JSTOR 2231972.

[3] Phillips, Peter C.B. (1985). „Porozumění falešným regresím v ekonometrii“ (PDF). Cowles Foundation Discussion Papers 757. Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University.

[4] Sargan, J. D. (1964). „Mzdy a ceny ve Velké Británii: Studie ekonometrické metodologie“, 16, 25–54. v Ekonometrická analýza pro národní ekonomické plánování, vyd. P. E. Hart, G. Mills a J. N. Whittaker. London: Butterworths

[5] Davidson, J. E. H .; Hendry, D. F.; Srba, F .; Yeo, J. S. (1978). „Ekonometrické modelování souhrnného vztahu časových řad mezi výdaji a příjmy spotřebitelů ve Velké Británii“. Ekonomický deník. 88 (352): 661–692. JSTOR 2231972.

[6] Engle, Robert F .; Granger, Clive W. J. (1987). "Kointegrace a oprava chyb: Reprezentace, odhad a testování". Econometrica. 55 (2): 251–276. JSTOR 1913236.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]