Nerovnost Babenko – Beckner - Babenko–Beckner inequality

V matematice je Nerovnost Babenko – Beckner (po K. Ivanovi Babenkovi a William E. Beckner ) je naostřená forma Hausdorff – Mladá nerovnost mít aplikace do principy nejistoty v Fourierova analýza z L^str mezery. The (q, str)-norma z n-dimenzionální Fourierova transformace je definován jako^[1]

${ displaystyle | { mathcal {F}} | _ {q, p} = sup _ {f v L ^ {p} ( mathbb {R} ^ {n})} { frac { | { mathcal {F}} f | _ {q}} { | f | _ {p}}}, { text {where}} 1$

V roce 1961 Babenko^[2] našel tuto normu pro dokonce celočíselné hodnoty q. A konečně, v roce 1975, pomocí Hermitovské funkce tak jako vlastní funkce Fourierovy transformace, Beckner^[3] dokázal, že hodnota této normy pro všechny ${ displaystyle q geq 2}$ je

${ displaystyle | { mathcal {F}} | _ {q, p} = left (p ^ {1 / p} / q ^ {1 / q} right) ^ {n / 2}.}$

Tak máme Nerovnost Babenko – Beckner že

${ displaystyle | { mathcal {F}} f | _ {q} leq vlevo (p ^ {1 / p} / q ^ {1 / q} vpravo) ^ {n / 2} | f | _ {p}.}$

Chcete-li to výslovně napsat (v případě jedné dimenze), pokud je Fourierova transformace normalizována tak, že

${ displaystyle g (y) přibližně int _ { mathbb {R}} e ^ {- 2 pi ixy} f (x) , dx { text {a}} f (x) přibližně int _ { mathbb {R}} e ^ {2 pi ixy} g (y) , dy,}$

pak máme

${ displaystyle left ( int _ { mathbb {R}} | g (y) | ^ {q} , dy right) ^ {1 / q} leq left (p ^ {1 / p} / q ^ {1 / q} right) ^ {1/2} left ( int _ { mathbb {R}} | f (x) | ^ {p} , dx right) ^ {1 / p}}$

nebo jednodušeji

${ displaystyle left ({ sqrt {q}} int _ { mathbb {R}} | g (y) | ^ {q} , dy right) ^ {1 / q} leq left ( { sqrt {p}} int _ { mathbb {R}} | f (x) | ^ {p} , dx right) ^ {1 / p}.}$

Hlavní myšlenky důkazu

V celém tomto náčrtu důkazu dovolte

${ displaystyle 1$

(Až na q, budeme víceméně následovat notaci Becknera.)

Dvoubodové lemma

Nechat ${ displaystyle d nu (x)}$ být diskrétní míra s váhou ${ displaystyle 1/2}$ v bodech ${ displaystyle x = pm 1.}$ Pak operátor

${ displaystyle C: a + bx rightarrow a + omega bx}$

mapy ${ displaystyle L ^ {p} (d nu)}$ na ${ displaystyle L ^ {q} (d nu)}$ s normou 1; to je

${ displaystyle left [ int | a + omega bx | ^ {q} d nu (x) right] ^ {1 / q} leq left [ int | a + bx | ^ {p} d nu (x) right] ^ {1 / p},}$

nebo přesněji

${ displaystyle left [{ frac {| a + omega b | ^ {q} + | a- omega b | ^ {q}} {2}} right] ^ {1 / q} leq left [{ frac {| a + b | ^ {p} + | ab | ^ {p}} {2}} vpravo] ^ {1 / p}}$

pro jakýkoli komplex A, b. (Důkaz jeho „dvoubodového lemmatu“ najdete v Becknerově článku.)

Sled pokusů Bernoulli

Měření ${ displaystyle d nu}$ který byl představen výše, je ve skutečnosti spravedlivý Bernoulliho soud s průměrem 0 a rozptylem 1. Uvažujme součet posloupnosti n takové Bernoulliho pokusy, nezávislé a normalizované, takže směrodatná odchylka zůstává 1. Získáváme míru ${ displaystyle d nu _ {n} (x)}$ který je n-násobná konvoluce ${ displaystyle d nu ({ sqrt {n}} x)}$ sám se sebou. Dalším krokem je rozšíření operátora C definovaný na dvoubodovém prostoru výše operátorovi definovanému na (n + 1) -bodový prostor ${ displaystyle d nu _ {n} (x)}$ s respektem k elementární symetrické polynomy.

Konvergence ke standardnímu normálnímu rozdělení

Sekvence ${ displaystyle d nu _ {n} (x)}$ slabě konverguje ke standardu normální rozdělení pravděpodobnosti ${ displaystyle d mu (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 2} , dx}$ s ohledem na funkce polynomiálního růstu. V limitu rozšíření operátora C výše, pokud jde o elementární symetrické polynomy vzhledem k míře ${ displaystyle d nu _ {n} (x)}$ je vyjádřen jako operátor T z hlediska Hermitovy polynomy s ohledem na standardní normální rozdělení. Tyto Hermitovy funkce jsou vlastní funkce Fourierovy transformace a (q, str) -norm Fourierovy transformace se získá jako výsledek po určité renormalizaci.

Viz také

• Entropická nejistota

Reference