Osmičlenný model - Eight-vertex model - Wikipedia

v statistická mechanika, osmičlenný model je zobecněním modely ledového typu (šest vrcholů); diskutoval o tom Sutherland,^[1] a Fan & Wu,^[2] a vyřešil Baxter v případě nulového pole.^[3]

Popis

Stejně jako u modelů ledového typu je model s osmi vrcholy čtvercový mřížový model, kde každý stav je konfigurací šipek na vrcholu. Povolené vrcholy mají sudý počet šipek směřujících k vrcholu; mezi ně patří šest zděděných z model ledového typu (1-6) a jímky a zdroje (7, 8).

Eightvertex2

Považujeme a ${ displaystyle N krát N}$ mříž, s ${ displaystyle N ^ {2}}$ vrcholy a ${ displaystyle 2N ^ {2}}$ hrany. Uložení pravidelných okrajových podmínek vyžaduje, aby se stavy 7 a 8 vyskytovaly stejně často, stejně jako stavy 5 a 6, a lze je tedy považovat za stejnou energii. Pro případ nulového pole platí totéž pro další dva páry stavů. Každý vrchol ${ displaystyle j}$ má přidruženou energii ${ displaystyle epsilon _ {j}}$ a Boltzmannova hmotnost ${ displaystyle w_ {j} = e ^ {- { frac { epsilon _ {j}} {kT}}}}$ , dávat funkce oddílu přes mřížku jako

{ displaystyle Z = sum exp left (- { frac { sum _ {j} n_ {j} epsilon _ {j}} {kT}} right)}

kde součet je přes všechny povolené konfigurace vrcholů v mřížce. V této obecné podobě zůstává funkce oddílu nevyřešená.

Řešení v případě nulového pole

Případ nulového pole modelu fyzicky odpovídá absenci vnějších elektrických polí. Model tedy zůstává nezměněn pod obrácením všech šipek; stavy 1 a 2 a 3 a 4 se tedy musí vyskytovat jako páry. Vrcholům lze přiřadit libovolné váhy

{ displaystyle { begin {aligned} w_ {1} = w_ {2} & = a w_ {3} = w_ {4} & = b w_ {5} = w_ {6} & = c w_ {7} = w_ {8} & = d. end {zarovnáno}}}

Řešení je založeno na pozorování, ve kterém jsou řádky přenosové matice dojíždět, pro určitou parametrizaci těchto čtyř Boltzmannových vah. Toto přišlo jako modifikace alternativního řešení pro model šesti vrcholů; využívá eliptické theta funkce.

Dojíždějící přenosové matice

Důkaz se spoléhá na skutečnost, že když ${ displaystyle Delta '= Delta}$ a ${ displaystyle Gamma '= Gamma}$ , pro množství

{ displaystyle { begin {aligned} Delta & = { frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2}} {2 (ab + cd)}} Gamma & = { frac {ab-cd} {ab + cd}} end {aligned}}}

přenosové matice ${ displaystyle T}$ a ${ displaystyle T '}$ (spojené s váhami ${ displaystyle a}$ , ${ displaystyle b}$ , ${ displaystyle c}$ , ${ displaystyle d}$ a ${ displaystyle a '}$ , ${ displaystyle b '}$ , ${ displaystyle c '}$ , ${ displaystyle d '}$ ) dojíždět. Za použití vztah hvězda-trojúhelník Baxter přeformuloval tuto podmínku jako ekvivalent parametrizace vah uvedených jako

{ displaystyle a: b: c: d = operatorname {snh} ( eta -u): operatorname {snh} ( eta + u): operatorname {snh} (2 eta): k operatorname { snh} (2 eta) operatorname {snh} ( eta -u) operatorname {snh} ( eta + u)}

pro pevný modul ${ displaystyle k}$ a ${ displaystyle eta}$ a variabilní ${ displaystyle u}$ . Zde snh je hyperbolický analog sn, daný

{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {snh} (u) & = - i operatorname {snh} (iu) { text {kde}} operatorname {snh} (u) & = { frac {H (u)} {k ^ {1/2} Theta (u)}} end {zarovnáno}}}

a ${ displaystyle H (u)}$ a ${ displaystyle Theta (u)}$ jsou Jacobiho eliptické funkce modulu ${ displaystyle k}$ . Přidružená přenosová matice ${ displaystyle T}$ tedy je funkcí ${ displaystyle u}$ sama; pro všechny ${ displaystyle u}$ , ${ displaystyle v}$

{ displaystyle T (u) T (v) = T (v) T (u).}

Funkce matice ${ displaystyle Q (u)}$

Druhou zásadní součástí řešení je existence funkce nesouvislé matice ${ displaystyle Q}$ , tak, že pro všechny složité ${ displaystyle u}$ matice ${ displaystyle Q (u), Q (u ')}$ dojíždět navzájem a přenosové matice a uspokojit

{ displaystyle zeta (u) T (u) Q (u) = phi (u- eta) Q (u + 2 eta) + phi (u + eta) Q (u-2 eta)}

(1)

kde

{ displaystyle { begin {zarovnáno} zeta (u) & = [c ^ {- 1} H (2 eta) theta (u- eta) theta (u + eta)] ^ {N} phi (u) & = [ Theta (0) H (u) Theta (u)] ^ {N}. end {zarovnáno}}}

Existence a komutační vztahy takové funkce jsou demonstrovány zvážením párového šíření vrcholem a periodických vztahů theta funkcí podobným způsobem jako u modelu šesti vrcholů.

Výslovné řešení

Komutace matic v (1) umožnit jim být diagonalizováno, a tudíž vlastní čísla Může být nalezeno. Funkce oddílu se počítá z maximálního vlastního čísla, což má za následek a energie zdarma na stránky

{ displaystyle { begin {aligned} f = epsilon _ {5} -2kT sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { sinh ^ {2} (( tau - lambda) n) ( cosh (n lambda) - cosh (n alpha))} {n sinh (2n tau) cosh (n lambda)}} end {zarovnáno}}}

pro

{ displaystyle { begin {aligned} tau & = { frac { pi K '} {2K}} lambda & = { frac { pi eta} {iK}} alpha & = { frac { pi u} {iK}} end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle K '}$ jsou úplné eliptické integrály modulů ${ displaystyle k}$ a ${ displaystyle k '}$ Osm vertexový model byl také vyřešen v kvazikrystaly.

Ekvivalence s Isingovým modelem

Mezi modelem s osmi vrcholy existuje přirozená korespondence Isingův model s interakcemi nejbližších sousedů se 2 a 4 spiny. Stavy tohoto modelu jsou otočení ${ displaystyle sigma = pm 1}$ na tvářích čtvercové mřížky. Analogem „hran“ v modelu s osmi vrcholy jsou produkty točení na sousedních plochách:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} alpha _ {ij} & = sigma _ {ij} sigma _ {i, j + 1} mu _ {ij} & = sigma _ {ij} sigma _ {i + 1, j}. end {zarovnáno}}}

Isingduallattice

Nejobecnější forma energie pro tento model je

{ displaystyle { begin {aligned} epsilon & = - sum _ {ij} (J_ {h} mu _ {ij} + J_ {v} alpha _ {ij} + J alpha _ {ij} mu _ {ij} + J ' alpha _ {i + 1, j} mu _ {ij} + J' ' alpha _ {ij} alpha _ {i + 1, j}) end {zarovnáno }}}

kde ${ displaystyle J_ {h}}$ , ${ displaystyle J_ {v}}$ , ${ displaystyle J}$ , ${ displaystyle J '}$ popsat horizontální, vertikální a dvě diagonální interakce se 2 spiny a ${ displaystyle J ''}$ popisuje interakci se čtyřmi spiny mezi čtyřmi plochami na vrcholu; součet je přes celou mřížku.

Isinginteraction

V modelu s osmi vrcholy označujeme horizontální a vertikální otočení (šipky na okrajích) ${ displaystyle mu}$ , ${ displaystyle alpha}$ respektive a definovat nahoru a doprava jako pozitivní směry. Omezení stavů vrcholů spočívá v tom, že součin čtyř hran na vrcholu je 1; to automaticky platí pro Isingovy „hrany“. Každý ${ displaystyle sigma}$ konfigurace pak odpovídá jedinečnému ${ displaystyle mu}$ , ${ displaystyle alpha}$ konfigurace, zatímco každý ${ displaystyle mu}$ , ${ displaystyle alpha}$ Konfigurace poskytuje dvě možnosti ${ displaystyle sigma}$ konfigurace.

Rovnání obecných forem Boltzmannovy váhy pro každý vrchol ${ displaystyle j}$ , následující vztahy mezi ${ displaystyle epsilon _ {j}}$ a ${ displaystyle J_ {h}}$ , ${ displaystyle J_ {v}}$ , ${ displaystyle J}$ , ${ displaystyle J '}$ , ${ displaystyle J ''}$ definovat korespondenci mezi mřížovými modely:

{ displaystyle { begin {aligned} epsilon _ {1} & = - J_ {h} -J_ {v} -J-J'-J '', quad epsilon _ {2} = J_ {h} + J_ {v} -J-J'-J '' epsilon _ {3} & = - J_ {h} + J_ {v} + J + J'-J '', quad epsilon _ { 4} = J_ {h} -J_ {v} + J + J'-J '' epsilon _ {5} & = epsilon _ {6} = J-J '+ J' epsilon _ {7} & = epsilon _ {8} = - J + J '+ J'.. End {zarovnáno}}}

Z toho vyplývá, že v případě nulového pole modelu s osmi vrcholy horizontální a vertikální interakce v odpovídajícím modelu Ising zmizí.

Tyto vztahy dávají rovnocennost ${ displaystyle Z_ {I} = 2Z_ {8V}}$ mezi funkcemi dělení modelu s osmi vrcholy a 2,4-spinovým Isingovým modelem. V důsledku toho by řešení v jednom z modelů okamžitě vedlo k řešení v druhém.

Viz také

Poznámky

^ Sutherland, Bill (1970). „Dvojrozměrné vodíkové pojené krystaly bez pravidla ledu“. Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 11 (11): 3183–3186. doi:10.1063/1.1665111. ISSN 0022-2488.
^ Ventilátor, Chungpeng; Wu, F. Y. (01.08.1970). "Obecný mřížkový model fázových přechodů". Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 2 (3): 723–733. doi:10.1103 / fyzrevb.2.723. ISSN 0556-2805.
^ Baxter, R. J. (05.04.1971). "Osmičlenný model v mřížkové statistice". Dopisy o fyzické kontrole. Americká fyzická společnost (APS). 26 (14): 832–833. doi:10.1103 / physrevlett.26.832. ISSN 0031-9007.

Reference

Baxter, Rodney J. (1982), Přesně řešené modely ve statistické mechanice (PDF), Londýn: Academic Press Inc. [vydavatelé Harcourt Brace Jovanovich], ISBN 978-0-12-083180-7, PAN 0690578

[1] Sutherland, Bill (1970). „Dvojrozměrné vodíkové pojené krystaly bez pravidla ledu“. Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 11 (11): 3183–3186. doi:10.1063/1.1665111. ISSN 0022-2488.

[2] Ventilátor, Chungpeng; Wu, F. Y. (01.08.1970). "Obecný mřížkový model fázových přechodů". Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 2 (3): 723–733. doi:10.1103 / fyzrevb.2.723. ISSN 0556-2805.

[3] Baxter, R. J. (05.04.1971). "Osmičlenný model v mřížkové statistice". Dopisy o fyzické kontrole. Americká fyzická společnost (APS). 26 (14): 832–833. doi:10.1103 / physrevlett.26.832. ISSN 0031-9007.

[1]

[2]

[3]