Egyptská geometrie - Egyptian geometry

The Rhind Mathematical Papyrus

Egyptská geometrie odkazuje na geometrie jak byl vyvinut a používán v Starověký Egypt. Jejich geometrie byl nezbytným následkem geodetické zachovat uspořádání a vlastnictví zemědělské půdy, která byla každoročně zaplavována Řeka Nil.^[1]

Ze starověkého Egypta máme jen omezený počet problémů, které se týkají geometrie. Geometrické problémy se objevují v obou Moskevský matematický papyrus (MMP) a v Rhind Mathematical Papyrus (RMP). Příklady ukazují, že staří Egypťané věděli, jak vypočítat oblasti několika geometrických tvarů a objemů válců a pyramid.

Plocha

Starověcí Egypťané psali své problémy do několika částí. Uvedli název a údaje k danému problému, v některých textech ukázali, jak problém vyřešit, a jako poslední krok si ověřili, že je problém správný. Zákoníci nepoužívali žádné proměnné a problémy byly psány prózovou formou. Řešení byla napsána v krocích a nastiňovala postup.

Egyptský kruh

Egyptské jednotky délky jsou doloženy z Rané dynastické období. Ačkoli se datuje do 5. dynastie, Palermský kámen zaznamenal úroveň řeka Nil za vlády raných dynastií faraon Djer, kdy byla výška Nilu zaznamenána jako 6 loket a 1 dlaň (asi 3,217 m nebo 10 stop 6,7 palce).^[2] A Třetí dynastie diagram ukazuje, jak postavit kruhovou klenbu pomocí tělesných měr podél oblouku. Pokud je plocha čtverce 434 jednotek. Plocha kruhu je 433,7.

The ostracon zobrazující tento diagram byl nalezen poblíž Kroková pyramida z Sakkáře. Křivka je rozdělena do pěti částí a výška křivky je uvedena v loktech, dlaních a číslicích v každé části.^[3][4]

V určitém okamžiku byly délky standardizovány pomocí loket pruty. Byly nalezeny příklady v hrobkách úředníků, které si všímají délky, která zbývá. Královské lokte byly použity pro pozemní opatření, jako jsou silnice a pole. Čtrnáct prutů, včetně jednoho prutu o dvou loktech, popsal a porovnal Lepsius.^[5] Dva příklady jsou známy z Sakkáře hrobka z Maya pokladník Tutanchamon.

Další byl nalezen v hrobce Kha (TT8 ) v Thebes. Tyto loket jsou dlouhé 52,5 cm (20,7 palce) a jsou rozděleny na dlaně a ruce: každá dlaň je rozdělena na čtyři prsty zleva doprava a prsty se dále dělí na ro zprava doleva. Pravidla jsou také rozdělena do rukou^[6] takže například jedna noha je dána jako tři ruce a patnáct prstů a také jako čtyři dlaně a šestnáct prstů.^{[2][4][7][8][9][6]}[

Cubit prut z Turínského muzea.

Geodetické a putovní měření byly prováděny pomocí prutů, tyčí a uzlových lan. Scéna v hrobce Menna v Thebes ukazuje inspektory, kteří měří pozemek pomocí lana s uzly vázanými v pravidelných intervalech. Podobné scény lze najít v hrobkách Amenhotep-Sesi, Khaemhat a Djeserkareseneb. Koule z lana jsou také zobrazeny v Nová říše sochy úředníků jako např Senenmut, Amenemhet-Surer a Penanhor.^[3]

Oblasti

Objekt	Zdroj	Formule (pomocí moderní notace)
trojúhelník	Problém 51 v RMP a problémy 4, 7 a 17 v MMP	${ displaystyle A = { frac {1} {2}} bh}$ b = základna, h = výška
obdélníky	Problém 49 v RMP a problém 6 v MMP a Lahun LV.4. problém 1	${ displaystyle A = bh}$ b = základna, h = výška
kruh	Problémy 51 v RMP a problémy 4, 7 a 17 v MMP	${ displaystyle A = { frac {1} {4}} ({ frac {256} {81}}) d ^ {2}}$ d = průměr. To používá hodnotu 256/81 = 3.16049 ... pro ${ displaystyle pi = 3.14159 ...}$
polokoule	Problém 10 v MMP

Trojúhelníky:
Staří Egypťané věděli, že oblast trojúhelníku je ${ displaystyle A = { frac {1} {2}} bh}$ kde b = základna a h = výška. Výpočty plochy trojúhelníku se objevují jak v RMP, tak v MMP.^[10]

Obdélníky:
Problém 49 z RMP najde plochu obdélníkového pozemku^[10] Úloha 6 MMP zjistí délky stran obdélníkové oblasti vzhledem k poměru délek stran. Tento problém se zdá být identický s jedním z Lahun Mathematical Papyri v Londýně. Problém je také zajímavý, protože je zřejmé, že Egypťané znali odmocniny. Dokonce měli speciální hieroglyf pro hledání druhé odmocniny. Vypadá to jako roh a objeví se v pátém řádku problému. Máme podezření, že měli tabulky udávající odmocniny některých často používaných čísel. Žádné takové tabulky však nebyly nalezeny.^[11] Problém 18 MMP vypočítává plochu délky oděvního plátna.^[10]

Lahunský papyrusový problém 1 v LV.4 je uveden jako: Plocha 40 "mH" o 3 "mH" se rozdělí na 10 oblastí, z nichž každá bude mít šířku, která je 1/2 1/4 jejich délky.^[12] Překlad problému a jeho řešení, jak se objevuje na fragmentu, je uveden na webu spravovaném University College London.^[13]

Kruhy:
Úloha 48 RMP porovnává plochu kruhu (aproximovaného osmiúhelníkem) a jeho ohraničující čtverec. Výsledek tohoto problému se používá v problému 50.

Projděte každou stranu. Odstraňte rohové trojúhelníky. Výsledný osmiboký obrazec se přibližuje kružnici. Plocha osmibokého obrazce je:

${ displaystyle 9 ^ {2} -4 { frac {1} {2}} (3) (3) = 63}$Dále přiblížíme 63 na 64 a všimneme si toho ${ displaystyle 64 = 8 ^ {2}}$

Tedy číslo ${ displaystyle 4 ({ frac {8} {9}}) ^ {2} = 3,16049 ...}$ hraje roli π = 3,14159 ....

Že tato osmiboká figura, jejíž plochu lze snadno vypočítat, tak přesně aproximuje plochu kruhu, je prostě štěstí. Získání lepší aproximace oblasti pomocí jemnějších dělení čtverce a podobného argumentu není jednoduché. ^[10]

Problém 50 RMP najde plochu kulatého pole o průměru 9 khet.^[10] To je vyřešeno pomocí aproximace, že kruhové pole o průměru 9 má stejnou plochu jako čtverec strany 8. Problém 52 najde oblast lichoběžníku se (zjevně) stejně šikmými stranami. Délky rovnoběžných stran a vzdálenost mezi nimi jsou daná čísla.^[11]

Polokoule:
Úloha 10 MMP vypočítává plochu polokoule.^[11]

Svazky

Obrázek úlohy 14 z Moskevský matematický papyrus. Problém zahrnuje schéma označující rozměry zkrácené pyramidy.

Několik problémů počítá objem válcových sýpek (41, 42 a 43 RMP), zatímco problém 60 RMP se zdá, že se týká pyramidy místo pilíře nebo kužele. Je poměrně malý a strmý, se sekovaným (sklonem) čtyřmi palmami (na loket).^[10]

Problém, který se objevuje v oddíle IV.3 dokumentu Lahun Mathematical Papyri spočítá objem sýpky s kruhovou základnou. Podobný problém a postup lze nalézt u Rhindova papyru (problém 43). Několik problémů v Moskevský matematický papyrus (problém 14) a v Rhind Mathematical Papyrus (čísla 44, 45, 46) spočítají objem obdélníkové sýpky.^[10][11]

Úloha 14 moskevského matematického papyrusu počítá objem komolé pyramidy, známé také jako komolé komolení.

Svazky

Objekt	Zdroj	Formule (pomocí moderní notace)
Válcové sýpky	RMP 41	${ displaystyle V = { frac {256} {81}} r ^ {2} h}$ měřeno v kubických loktech
Válcové sýpky	RMP 42, Lahun IV.3	${ displaystyle V = { frac {32} {27}} d ^ {2} h = { frac {128} {27}} r ^ {2} h}$ (měřeno v khar).
Obdélníkové sýpky	RMP 44-46 a MMP 14	${ displaystyle V = w l h}$ w = šířka, l = délka, h = výška
Zkrácená pyramida (frustum)	MMP 14	${ displaystyle V = { frac {1} {3}} (a ^ {2} + ab + b ^ {2}) h}$

Sequed

Problém 56 RMP naznačuje pochopení myšlenky geometrické podobnosti. Tento problém pojednává o poměru běh / vzestup, známém také jako seqed. Takový vzorec by byl potřebný pro stavbu pyramid. V dalším problému (problém 57) se výška pyramidy vypočítá z délky základny a seqed (Egyptský pro sklon), zatímco problém 58 udává délku základny a výšku a používá tato měření k výpočtu následných.

V úloze 59 část 1 počítá seqed, zatímco druhá část může být výpočtem pro kontrolu odpovědi: Pokud postavíte pyramidu se základní stranou 12 [loket] a se sekty 5 dlaní 1 prst; jaká je jeho nadmořská výška? ^[10]

Reference

Bibliografie

• Clagett, Marshalle (1999). Staroegyptská věda: Kniha zdrojů, Sv. III: Staroegyptská matematika. Monografie APS, Sv. 232. Philadelphia: American Philosophical Society. ISBN  978-0-87169-232-0.
• Lepsius, Karl Richard (1865). Die Alt-Aegyptische Elle und Ihre Eintheilung (v němčině). Berlín: Dümmler.