Efektivní permitivita a propustnost - Effective permittivity and permeability

Bylo navrženo, aby tento článek byl sloučeny do Efektivní střední aproximace. (Diskutujte) Navrhováno od února 2020.

Efektivní permitivita a propustnost jsou zprůměrované dielektrické a magnetické charakteristiky mikroinhomogenního média. Jsou předmětem Efektivní teorie média.^[1] Existují dva široce používané vzorce.^[2] Oba byli odvozeni kvazi-statická aproximace když lze elektrické pole uvnitř částice směsi považovat za homogenní. Tyto vzorce tedy nemohou popsat účinek velikosti částic. Bylo učiněno mnoho pokusů tyto vzorce vylepšit.

Vzorec Maxwella Garnetta

První vzorec navrhl J.C. Maxwell Garnett.^[3] Maxwell Garnett byl synem fyzika William Garnett, a byl pojmenován po Garnettově příteli, James Clerk Maxwell. Navrhl svůj vzorec, který by vysvětlil barevné obrázky, které jsou pozorovány v brýlích dopovaných kovovými nanočásticemi. Jeho vzorec má formu

${ displaystyle epsilon _ {eff} = epsilon _ {d} vlevo [1 + 3c_ {m} { frac { epsilon _ {m} - epsilon _ {d}} { epsilon _ {m} +2 epsilon _ {d} -c_ {m} ( epsilon _ {m} - epsilon _ {d})}} vpravo],}$ (1)

kde ${ displaystyle epsilon _ {eff}}$ je efektivní relativní komplexní permitivita směsi, ${ displaystyle epsilon _ {d}}$ je relativní komplexní permitivita podkladového média obsahující malé sférické inkluze relativní permitivity ${ displaystyle epsilon _ {m}}$ s objemovým zlomkem ${ displaystyle c_ {m} << 1}$. Tento vzorec je založen na rovnosti

${ displaystyle epsilon _ {eff} = epsilon _ {d} + c_ {m} { frac {p_ {m}} { epsilon _ {0} E}},}$ (2)

kde ${ displaystyle epsilon _ {0}}$ je absolutní permitivita volného prostoru a ${ displaystyle p_ {m}}$ je elektrický dipólový moment jediného inkluze vyvolaného vnějším elektrické pole E. Tato rovnost je však dobrá pouze pro homogenní médium a ${ displaystyle epsilon _ {d} = 1}$. Rovnice (1) navíc ignoruje interakci mezi jednotlivými inkluze. Kvůli těmto okolnostem dává vzorec (1) příliš úzkou a příliš vysokou rezonanční křivku pro excitaci plazmonu v kovových nanočásticích směsi.^[4]

Bruggemanův vzorec

Druhý populární vzorec navrhl D.A.G. Bruggemane.^[5] Jeho vzorec má formu

${ displaystyle epsilon _ {eff} = { frac {H_ {b} + { sqrt {H_ {b} ^ {2} +8 epsilon _ {m} epsilon _ {d}}}} {4 }},}$ ${ displaystyle H_ {b} = (2-3c_ {m}) epsilon _ {d} - (1-3c_ {m}) epsilon _ {m}.}$ (3)

Zde musí být kladné znaménko před druhou odmocninou v některých případech změněno na záporné znaménko, aby se získala správná imaginární část efektivní komplexní permitivity, která souvisí s útlumem elektromagnetických vln. Tento vzorec je založen na rovnosti

${ displaystyle Delta Phi = int int epsilon _ {r} ( mathbf {r}) E_ {n} ( mathbf {r}) ds- epsilon _ {eff} int int E_ { 0}, ds = 0,}$ (4)

kde ${ displaystyle Delta Phi}$ je skok z elektrický výtlak tok po celé integrační ploše, ${ displaystyle E_ {n} ( mathbf {r})}$ je složka mikroskopického elektrického pole kolmá k integrační ploše, ${ displaystyle epsilon _ {r} ( mathbf {r})}$ je místní relativní komplexní permitivita, která má hodnotu ${ displaystyle epsilon _ {m}}$ uvnitř vybrané kovové částice hodnota ${ displaystyle epsilon _ {d}}$ uvnitř vybrané dielektrické částice a hodnoty ${ displaystyle epsilon _ {eff}}$ mimo vybranou částici, ${ displaystyle E_ {0}}$ je normální složkou makroskopického elektrického pole. Vzorec (4) pochází z Maxwellova rovnost ${ displaystyle mathrm {div} ( epsilon _ {r} mathbf {E}) = 0}$. V přístupu Bruggemana je tedy uvažována pouze jedna vybraná částice. Interakce se všemi ostatními částicemi se bere v úvahu pouze v aproximaci středního pole popsané v ${ displaystyle epsilon _ {eff}}$. Vzorec (3) poskytuje rozumnou rezonanční křivku pro excitace plazmonu v kovových nanočásticích, pokud je jejich velikost 10 nm nebo menší. Není však schopen popsat závislost velikosti rezonanční frekvence plazmonových excitací, které jsou pozorovány v experimentu ^[6]

Vzorec popisující velikostní efekt

Byl navržen nový vzorec popisující velikostní efekt.^[4] Tento vzorec má formu

${ displaystyle epsilon _ {eff} = { frac {H _ { epsilon} + i { sqrt {-H _ { epsilon} ^ {2} -8 epsilon _ {m} epsilon _ {d} J (k_ {m} a)}}} {4}},}$

${ displaystyle H _ { epsilon} = (2-3c_ {m}) epsilon _ {d} - (1-3c_ {m}) epsilon _ {m} J (k_ {m} a),}$ (5)

${ displaystyle J (x) = 2 { frac {1-x mathrm {cot} (x)} {x ^ {2} + x mathrm {cot} (x) -1}}}$,

kde A je poloměr nanočástic a ${ displaystyle k_ {m} = { sqrt { epsilon _ {m} mu _ {m}}} omega / c}$ je číslo vlny. Zde se předpokládá, že časová závislost elektromagnetického pole je dána faktorem ${ displaystyle mathrm {exp} (-i omega t).}$ V tomto článku byl použit Bruggemanův přístup, ale elektromagnetické pole pro režim elektrického dipólu oscilace uvnitř vybrané částice bylo vypočítáno bez použití kvazi-statická aproximace. Tedy funkce ${ displaystyle J (k_ {m} a)}$ je kvůli nerovnoměrnosti pole uvnitř vybrané částice. V kvazi-statické oblasti ${ displaystyle (k_ {m} a << 1}$, tj. ${ displaystyle a}$ ≤ 10 nm pro Ag${ displaystyle)}$ tato funkce se stává konstantní ${ displaystyle J (k_ {m} a) = 1}$ a vzorec (5) se stává totožným s Bruggemanovým vzorcem (3).

Efektivní vzorec propustnosti

Vzorec pro efektivní propustnost směsí má formu ^[4]

${ displaystyle mu _ {eff} = { frac {H _ { mu} + i { sqrt {-H _ { mu} ^ {2} -8 mu _ {m} mu _ {d} J (k_ {m} a)}}} {4}},}$ (6)

${ displaystyle H _ { mu} = (2-3c_ {m}) mu _ {d} - (1-3c_ {m}) mu _ {m} J (k_ {m} a).}$

Tady ${ displaystyle mu _ {eff}}$ je efektivní relativní komplexní propustnost směsi, ${ displaystyle mu _ {d}}$ je relativní komplexní permeabilita základního média obsahující malé sférické inkluze relativní permeability ${ displaystyle mu _ {m}}$ s objemovým zlomkem ${ displaystyle c_ {m} << 1}$. Tento vzorec byl odvozen v dipólové aproximaci. Zde byl zanedbán režim magnetického oktupolu a všechny ostatní režimy magnetického kmitání lichých řádů. Když ${ displaystyle mu _ {m} = mu _ {d}}$ a ${ displaystyle k_ {m} a << 1}$ tento vzorec má jednoduchou formu ^[4]

${ displaystyle mu _ {eff} = mu _ {d} vlevo (1 + { frac {c_ {m}} {10}} { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2 }}} a ^ {2} epsilon _ {m} vpravo).}$ (7)

Reference