E-funkce - E-function
v matematika, E-funkce jsou typem výkonová řada které splňují konkrétní aritmetické podmínky na koeficientech. Zajímají se o ně teorie transcendentních čísel, a jsou zvláštnější než G-funkce.
Definice
Funkce F(X) se volá typ E, nebo E-funkce,[1] pokud je výkonová řada
splňuje následující tři podmínky:
- Všechny koeficienty Cn patří ke stejnému algebraické číslo pole, K., který má konečný stupeň přes racionální čísla;
- Pro všechna ε> 0,
- ,
kde levá strana představuje maximum absolutních hodnot všech algebraické konjugáty z Cn;
- Pro všechna ε> 0 existuje posloupnost přirozených čísel q0, q1, q2, ... takové qnCk je algebraické celé číslo v K. pro k=0, 1, 2,..., n, a n = 0, 1, 2, ... a pro které
- .
Druhá podmínka to naznačuje F je celá funkce z X.
Použití
E- funkce byly nejprve studovány Siegel v roce 1929.[2] Našel způsob, jak ukázat, že hodnoty přijal jistý E-funkce byly algebraicky nezávislý. To byl výsledek, který stanovil algebraickou nezávislost tříd čísel spíše než jen lineární nezávislost.[3] Od té doby se tyto funkce osvědčily v teorie čísel a zejména mají uplatnění v transcendence důkazy a diferenciální rovnice.[4]
Siegelova – Shidlovského věta
Snad hlavní výsledek spojený s E-functions je Siegelova – Shidlovského věta (také známá jako Shidlovského a Shidlovského věta), pojmenovaná po Carl Ludwig Siegel a Andrei Borisovich Shidlovskii.
Předpokládejme, že jsme dostali n E-funkce, E1(X),...,En(X), které splňují systém homogenních lineárních diferenciálních rovnic
Kde Fij jsou racionální funkce Xa koeficienty každého z nich E a F jsou prvky algebraického číselného pole K.. Věta pak říká, že pokud E1(X),...,En(X) jsou algebraicky nezávislé na K.(X), pak pro jakékoli nenulové algebraické číslo α, které není pólem žádného z Fij čísla E1(α), ...,En(α) jsou algebraicky nezávislé.
Příklady
- Libovolný polynom s algebraickými koeficienty je jednoduchým příkladem E-funkce.
- The exponenciální funkce je E- funkce, v jeho případě Cn= 1 pro všechny n.
- Pokud λ je algebraické číslo, pak Besselova funkce Jλ je E-funkce.
- Součet nebo součin dvou E-functions je E-funkce. Zejména E-funkce tvoří a prsten.
- Li A je algebraické číslo a F(X) je E-funkce pak F(sekera) bude E-funkce.
- Li F(X) je E-funkce pak derivát a integrál F jsou také E-funkce.
Reference
- ^ Carl Ludwig Siegel, Transcendentní čísla, str. 33, Princeton University Press, 1949.
- ^ C.L. Siegel, Über einige Anwendungen diophantischer Aproximace, Abh. Preuss. Akad. Wiss. 1, 1929.
- ^ Alan Baker, Teorie transcendentního čísla, s. 109-112, Cambridge University Press, 1975.
- ^ Serge Lang, Úvod do transcendentních čísel76, 77, Addison-Wesley Publishing Company, 1966.