E-operad - E∞-operad

V teorii operády v algebra a algebraická topologie, an E∞- operátor je prostor parametrů pro multiplikační mapu, který je asociativní a komutativní „až na všechny vyšší homotopie ". (Operad, který popisuje násobení, které je asociativní, ale ne nutně komutativní,„ až po homotopii “, se nazývá A∞- operátor.)

Definice

Pro definici je nutné pracovat v kategorii operadů s akcí symetrická skupina. Operad A se říká, že je E.∞-operad pokud jsou všechny jeho prostory E(n) jsou smluvní; někteří autoři také vyžadují akci symetrické skupiny Sn na E(n) být volný. V jiných Kategorie než topologické prostory, pojem kontraktibilita musí být nahrazen vhodnými analogy, jako např acyklicita v kategorii řetězové komplexy.

En-operáty a n-násobné mezery ve smyčce

Dopis E v terminologii znamená „všechno“ (znamená asociativní a komutativní) a symboly nekonečna říkají, že komutativita je vyžadována až po „všechny“ vyšší homotopy. Obecněji existuje slabší představa En- operátor (n ∈ N), parametrizující násobení, která jsou komutativní pouze do určité úrovně homotopií. Zejména,

  • E1-prostory jsou A∞-prostory;
  • E2-prostory jsou homotopy komutativní A∞-prostory.

Důležitost En- a E∞-operáty v topologii vycházejí ze skutečnosti, že iterovaly smyčkové mezery, tj. Prostory spojitých map z n-dimenzionální koule do jiného prostoru X začínající a končící v pevném základním bodě, tvoří algebry nad En- operátor. (Jeden říká, že jsou En-prostory.) Naopak, jakékoli připojené En-prostor X je n-násobný prostor smyčky na nějakém jiném prostoru (tzv BnX, n-složit třídicí prostor X).

Příklady

Nejviditelnější, ne-li zvláště užitečný příklad příkladu E∞- operátor je komutativní operad C dána C(n) = *, bod, pro všechny n. Všimněte si, že podle některých autorů to opravdu není E∞- operátor, protože Sn-akce není zdarma. Tento operad popisuje striktně asociativní a komutativní násobení. Podle definice jakýkoli jiný E∞-operad má mapu C což je homotopická ekvivalence.

The provozovatel málo n- kostky nebo málo n-disky je příkladem En- operátor, na který působí přirozeně n-násobné mezery ve smyčce.

Viz také

Reference

  • Stasheff, Jim (Červen – červenec 2004). „Co je ... operad?“ (PDF ). Oznámení Americké matematické společnosti. 51 (6): 630–631. Citováno 2008-01-17.