Dudleyova věta - Dudleys theorem - Wikipedia
v teorie pravděpodobnosti, Dudleyho věta je výsledek týkající se očekávaný horní hranice a vlastnosti pravidelnosti a Gaussův proces k jeho entropie a kovariance struktura.
Dějiny
Výsledek poprvé uvedl a dokázal V. N. Sudakov, jak na to poukázal v příspěvku autor Dudley „Práce V. N. Sudakova o očekávané suprema Gaussových procesů,“ in Pravděpodobnost vysoké dimenze VII, Eds. C. Houdré, D. M. Mason, P. Reynaud-Bouret a Jan Rosiński, Birkhăuser, Springer, Pokrok v pravděpodobnosti 71, 2016, s. 37–43. Dudley to dříve připsal Volker Strassen spojením entropie a pravidelnosti.
Prohlášení
Nechť (Xt)t∈T být Gaussovým procesem a nechat dX být pseudometrické na T definován
![d _ {{X}} (s, t) = { sqrt {{ mathbf {E}} { big [} | X _ {{s}} - X _ {{t}} | ^ {{2}}] }}. ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770206df9ebe1f1c09dbea1684a2951cbae3309d)
Pro ε > 0, označit N(T, dX; ε) entropické číslo, tj. minimální počet (otevřených) dX- koule o poloměru ε povinni pokrýt T. Pak
![{ mathbf {E}} left [ sup _ {{t in T}} X _ {{t}} right] leq 24 int _ {0} ^ {{+ infty}} { sqrt { log N (T, d _ {{X}}; varepsilon)}} , { mathrm {d}} varepsilon.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb0f5968f253567ccb5f75d5932eb0e68a73cd8)
Kromě toho, pokud entropický integrál na pravé straně konverguje, pak X má verzi s téměř všemi ohraničenými cestami vzorku a (jednotně) spojitou na (T, dX).
Reference
- Dudley, Richard M. (1967). "Velikosti kompaktních podmnožin Hilberta a kontinuita Gaussových procesů". Journal of Functional Analysis. 1: 290–330. doi:10.1016/0022-1236(67)90017-1. PAN 0220340.
- Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Pravděpodobnost v Banachových prostorech. Berlín: Springer-Verlag. str. xii + 480. ISBN 3-540-52013-9. PAN 1102015. (Viz kapitola 11)