Síly dvou vrstev - Double layer forces

Síly dvou vrstev mezi nabitými objekty v kapalinách, obvykle ve vodě. Tato síla působí na vzdálenosti, které jsou srovnatelné s Délka debye, což je řádově jedna až několik desetin nanometry. Síla těchto sil se zvyšuje s velikostí povrchový náboj hustota (nebo elektrický povrchový potenciál). U dvou podobně nabitých objektů je tato síla odpudivá a klesá exponenciálně na větší vzdálenosti, viz obrázek. Pro nerovnoměrně nabité objekty a případně na zkrácené vzdálenosti mohou být tyto síly také atraktivní. Teorie kvůli Derjaguin, Landau, Verwey a Overbeek (DLVO) kombinuje takové síly dvou vrstev společně s Van der Waalsovy síly za účelem odhadu skutečného potenciálu interakce mezi koloidními částicemi.[1]
An elektrická dvojitá vrstva se vyvíjí v blízkosti nabitých povrchů (nebo jiných nabitých předmětů) ve vodných roztocích. V rámci této dvojité vrstvy odpovídá první vrstva nabitému povrchu. Tyto náboje mohou pocházet z těsně adsorbovaných iontů, disociovaných povrchových skupin nebo substituovaných iontů v krystalové mřížce. Druhá vrstva odpovídá difúzní vrstvě, která obsahuje neutralizační náboj skládající se z nahromaděných protiiontů a ochuzených coionů. Výsledný potenciální profil mezi těmito dvěma objekty vede k rozdílům v iontových koncentracích v mezeře mezi těmito objekty s ohledem na objemové řešení. Tyto rozdíly generují osmotický tlak, který generuje sílu mezi těmito objekty.
Tyto síly lze snadno zažít, když si ruce umyjete mýdlem. Adsorpční molekuly mýdla způsobují, že pokožka je negativně nabitá a kluzký pocit je způsoben silně odpudivými silami dvou vrstev.[2] Tyto síly jsou dále relevantní v mnoha koloidních nebo biologických systémech a mohou být zodpovědné za jejich stabilitu, tvorbu koloidních krystalů nebo jejich reologické vlastnosti.
Poisson – Boltzmannův model

Nejpopulárnějším modelem popisujícím elektrickou dvojitou vrstvu je Poisson-Boltzmannův (PB) model. Tento model lze stejně použít k vyhodnocení sil dvou vrstev. Pojďme diskutovat o tomto modelu v případě rovinné geometrie, jak je znázorněno na obrázku vpravo. V tomto případě profil elektrického potenciálu ψ(z) poblíž nabitého rozhraní bude záviset pouze na poloze z. Korespondence Poissonova rovnice čte dovnitř SI jednotky
kde ρ je hustota náboje na jednotku objemu, ε0 dielektrická permitivita vakua a ε the dielektrická konstanta kapaliny. Pro symetrický elektrolyt sestávající z kationtů a aniontů s nábojem ±q, hustotu náboje lze vyjádřit jako
kde C± = N±/PROTI jsou koncentrace kationtů a aniontů, kde N± jsou jejich počty a PROTI objem vzorku. Tyto profily lze vztahovat k elektrickému potenciálu s ohledem na skutečnost, že chemický potenciál iontů je konstantní. Pro oba ionty lze tento vztah zapsat jako
kde je referenční chemický potenciál, T absolutní teplota a k Boltzmannova konstanta. Referenční chemický potenciál lze eliminovat použitím stejné rovnice daleko od povrchu, kde se předpokládá, že potenciál zmizí a koncentrace dosáhnou objemové koncentrace CB. Koncentrační profily se tak stanou
kde β = 1/(kT). Tento vztah odráží Boltzmannova distribuce iontů s energií ±qψ. Vložením těchto vztahů do Poissonovy rovnice získáme PB rovnice[3]
Profil potenciálu mezi dvěma deskami se obvykle získá numerickým řešením této rovnice.
Jakmile je znám potenciální profil, lze sílu na jednotku plochy mezi deskami vyjádřenou jako odpojovací tlak Π získat následujícím způsobem. Výchozím bodem je Vztah Gibbs – Duhem pro dvousložkový systém při konstantní teplotě[3]
Představujeme koncentrace C± a pomocí vyjádření chemických potenciálů μ± uvedený výše jeden najde
Koncentrační rozdíl lze eliminovat Poissonovou rovnicí a výslednou rovnici lze integrovat od nekonečného oddělení desek po skutečné oddělení h tím, že si to uvědomíme
Vyjádření profilů koncentrace z hlediska potenciálních profilů, které člověk získá
Ze známého profilu elektrického potenciálu ψ(z) lze z této rovnice vypočítat rozpojovací tlak v jakékoli vhodné poloze z. Alternativní odvození stejného vztahu pro uvolnění tlaku zahrnuje tenzor napětí.[1]
Model Debye-Hückel
Koncentrace soli CB (mmol / l) | Délka debye κ−1 (nm) |
---|---|
0.1 | 30 |
1 | 10 |
10 | 3 |
100 | 1 |
Pokud elektrický potenciál nebo hustota náboje nejsou příliš vysoké, lze PB rovnici zjednodušit na Debye-Hückel (DH) rovnice. Expanzí exponenciální funkce v rovnici PB do Taylorovy řady se získá
- kde
Parametr κ−1 se označuje jako Délka debye a některé reprezentativní hodnoty pro jednomocnou sůl ve vodě při 25 ° C s ε ≃ 80 je uvedeno v tabulce vpravo. V nevodných roztocích může být Debyeova délka podstatně větší než délka uvedená v tabulce kvůli menším dielektrickým konstantám. Model DH představuje dobrou aproximaci, když jsou povrchové potenciály dostatečně nízké vzhledem k mezním hodnotám
Číselná hodnota se týká jednovazné soli a 25 ° C. V praxi zůstává aproximace DH poměrně přesná až k povrchovým potenciálům, které jsou srovnatelné s výše uvedenými mezními hodnotami. Odpojovací tlak lze získat z PB rovnice uvedené výše, kterou lze také zjednodušit pro případ DH rozšířením do Taylorovy řady. Výsledný výraz je
Podstatná výhoda modelu DH oproti modelu PB spočívá v tom, že síly lze získat analyticky. Některé z relevantních případů budou probrány níže.
Aproximace superpozice

Když jsou povrchy dostatečně daleko od sebe, potenciální profily pocházející z každého jednotlivého povrchu nebudou přítomností druhého povrchu příliš narušeny. Tato aproximace tedy naznačuje, že lze jednoduše přidat (překrýt ) profily potenciálů pocházející z každého povrchu, jak je znázorněno na obrázku. Protože profil potenciálu prochází minimem ve střední rovině, je nejjednodušší vyhodnotit rozpojovací tlak ve střední rovině. Přečte se řešení rovnice DH pro izolovanou zeď
kde z je vzdálenost od povrchu a ψD povrchový potenciál. Potenciál ve střední rovině je tedy dán dvojnásobkem hodnoty tohoto potenciálu na dálku z = h/ 2. Oddělovací tlak se stává[1][4]
Elektrostatická síla dvou vrstev klesá exponenciálním způsobem. Kvůli stínění elektrolytem je rozsah síly dán Délka debye a jeho síla povrchovým potenciálem (nebo povrchový náboj hustota). Tato aproximace se ukáže být přesná, pokud je separace desek od desek velká ve srovnání s délkou Debye a potenciály povrchu jsou nízké.
Tento výsledek lze jednoduše zobecnit na vysoce nabité povrchy, ale pouze při větších vzdálenostech. I když je potenciál velký blízko povrchu, bude na větší vzdálenosti malý a lze ho popsat rovnicí DH. V tomto případě je však nutné nahradit skutečný potenciál difúzní vrstvy ψD s účinným potenciálem ψeff. V rámci modelu PB lze tento efektivní potenciál analyticky vyhodnotit a přečíst[4]
Aproximaci superpozice lze snadno rozšířit na asymetrické systémy. Analogické argumenty vedou k výrazu pro nesouvislý tlak
kde superskriptované veličiny odkazují na vlastnosti příslušného povrchu. Na větší vzdálenosti protichůdně nabité povrchy odpuzují a stejně nabité přitahují.
Povrchy regulující náboj
Zatímco aproximace superpozice je ve skutečnosti přesná na větší vzdálenosti, není již přesná na menší vzdálenosti. Řešení rovnic DH nebo PB mezi deskami poskytuje za těchto podmínek přesnější obraz. Pojďme zde diskutovat pouze o symetrické situaci v modelu DH. Tato diskuse představí pojem regulace poplatků, což naznačuje, že povrchový náboj (a povrchový potenciál) se může při přiblížení lišit (nebo regulovat).
Rovnici DH lze vyřešit přesně pro dvě desky.[1][5] Okrajové podmínky hrají důležitou roli a povrchový potenciál a hustota povrchového náboje a staly se funkcemi povrchové separace h a mohou se lišit od odpovídajících množství ψD a σ pro izolovaný povrch. Když povrchový náboj zůstává při přiblížení konstantní, jedná se o konstantní náboj (CC) okrajové podmínky. V tomto případě se potenciál difúzní vrstvy po přiblížení zvýší. Na druhou stranu, když je povrchový potenciál udržován konstantní, jedna odkazuje stálý potenciál (CP) okrajová podmínka. V tomto případě se hustota povrchového náboje po přiblížení snižuje. Takové snížení náboje může být způsobeno adsorpcí desorpce nabitých iontů z povrchu. Taková variace adsorbovaných druhů při přístupu byla také označována jako proximální adsorpce.[6] Schopnost povrchu regulovat svůj náboj lze kvantifikovat regulačním parametrem
kde CD = ε0 ε κ je kapacita difúzní vrstvy a CJá vnitřní (nebo regulační) kapacita. Podmínky CC jsou nalezeny, když p = 1, zatímco podmínky CP pro p = 0. Realistický případ bude obvykle umístěn mezi nimi. Řešením rovnice DH lze ukázat, že potenciál difúzní vrstvy se při přístupu liší
zatímco povrchová nabitá hustota odpovídá podobnému vztahu
Tlak bobtnání lze zjistit vložením přesného řešení rovnice DH do výrazů výše a jeden najde
Odpor je nejsilnější v podmínkách CC (p = 1) zatímco je slabší pro podmínky CP (p = 0). Výsledek aproximace superpozice je vždy obnoven na větší vzdálenosti, ale také pro p = 1/2 na všechny vzdálenosti. Druhá skutečnost vysvětluje, proč může být aproximace superpozice velmi přesná i při malých separacích. Povrchy regulují svůj náboj a skutečný regulační parametr není zřídka daleko od 1/2. Situaci ilustruje následující obrázek. Z hlediska stability to lze ukázat p <1 a že tento parametr může být také záporný. Tyto výsledky lze přímo rozšířit na asymetrický případ.[5]

Když jsou povrchové potenciály nahrazeny účinnými potenciály, je tento jednoduchý obrázek DH použitelný pro vysoce nabité povrchy v dostatečně větších vzdálenostech. Na kratší vzdálenosti však lze vstoupit do režimu PB a regulační parametr nemusí zůstat konstantní. V tomto případě je třeba vyřešit PB rovnici spolu s vhodným modelem procesu povrchového nabíjení. Experimentálně bylo prokázáno, že v asymetrických systémech mohou být účinky regulace náboje velmi důležité.[7]
Rozšíření o další geometrie
Interakce mezi různými objekty byly studovány v rámci modelů DH a PB mnoha vědci. Některé z příslušných výsledků jsou shrnuty v následujícím textu.
Nerovinné geometrie: V rámci souboru lze zacházet s objekty jiných než rovinných geometrií Derjaguinová aproximace, za předpokladu, že jejich velikost je podstatně větší než délka Debye. Tato aproximace byla použita k odhadu síly mezi dvěma nabitými koloidními částicemi, jak je znázorněno na prvním obrázku tohoto článku. Exponenciální povaha těchto odpudivých sil a skutečnost, že její rozsah je dán vztahem Délka debye byla experimentálně potvrzena přímým měřením síly, včetně aparát povrchových sil,[3][8] technika koloidní sondy,[7][9] nebo optická pinzeta.[10][11] Interakce volné energie zahrnující dvě sférické částice v aproximaci DH následuje Yukawa nebo testovaný Coulombův potenciál[4][12]
kde r je vzdálenost mezi středy, Q je náboj částic a A poloměr částic. Tento výraz je založen na aproximaci superpozice a je platný pouze při velkých separacích. Tuto rovnici lze rozšířit na více vysoce nabité částice reinterpretací náboje Q jako efektivní poplatek. K řešení interakcí v jiné situaci je nutné uchýlit se k numerickému řešení rovnice DH nebo PB.
Nerovnoměrné nebo nerovnoměrné rozložení poplatků: Interakce mezi povrchy s nerovnoměrným a periodickým rozložením náboje byla analyzována v rámci aproximace DH.[13][14] Takové povrchy jsou označovány jako mozaikové nebo patch-nábojové. Jedním důležitým závěrem z těchto studií je, že existuje další atraktivní elektrostatický příspěvek, který se také exponenciálně rozpadá. Když jsou nerovnoměrnosti uspořádány do kvadratické mřížky s roztečí b, délka rozpadu q−1 této další přitažlivosti lze vyjádřit jako
Při vysokých hladinách solí se tato přitažlivost promítá jako interakce mezi rovnoměrně nabitými povrchy. Při nižších hladinách solí však rozsah této přitažlivosti souvisí s charakteristickou velikostí heterogenit povrchového náboje.
Síly tří těles: Interakce mezi slabě nabitými objekty jsou párově aditivní kvůli lineární povaze aproximace DH. Na úrovni PB jsou však přítomny atraktivní síly tří těles.[11] Energii volné interakce mezi třemi objekty 1, 2 a 3 lze vyjádřit jako
kde Fij jsou dvojice volných energií a ΔF123 je neaditivní přísada tří těl. Bylo zjištěno, že tyto příspěvky na tři těla jsou na úrovni PB atraktivní, což znamená, že tři nabité objekty odpuzují méně silně, než by člověk očekával na základě samotných párových interakcí.
Za aproximací Poisson-Boltzmann
Přesnější popis interakcí dvou vrstev lze předložit na primitivní model. Tento model zachází s elektrostatickými a tvrdými interakcemi mezi všemi jednotlivými ionty výslovně. Zahrnuje však rozpouštědlo pouze „primitivním“ způsobem, konkrétně jako dielektrické kontinuum. Tento model byl podrobně studován v teoretické komunitě.[12][15][16][17] Explicitní výrazy pro síly většinou nejsou k dispozici, ale jsou přístupné pomocí počítačových simulací, integrálních rovnic nebo funkčních teorií hustoty.
Důležitým zjištěním z těchto studií je, že popis PB představuje pouze aproximaci středního pole. Tato aproximace je vynikající v tzv režim slabé vazby, to je pro monovalentní elektrolyty a slabě nabité povrchy. Tento popis se však člení na silný vazební režim, s nimiž se můžete setkat u multivalentních elektrolytů, vysoce nabitých systémů nebo nevodných rozpouštědel.[17] V režimu silné vazby jsou ionty silně korelované, což znamená, že každý iont má kolem sebe vylučovací otvor. Tyto korelace vedou k silné adsorpci iontů na nabité povrchy, což může vést k obrácení náboje a krystalizaci těchto iontů na povrchu. Tyto korelace mohou také vyvolat přitažlivé síly. Rozsah těchto sil je obvykle pod 1 nm.
Kontroverze přitažlivosti jako poplatek
Kolem roku 1990 se objevily teoretické a experimentální důkazy, že síly mezi nabitými částicemi suspendovanými ve zředěných roztocích monovalentních elektrolytů mohou být atraktivní na větší vzdálenosti.[18][19] Tento důkaz je v rozporu s výše diskutovanou teorií PB, která v těchto situacích vždy předpovídá odpudivé interakce. Teoretické řešení vedoucí k těmto závěrům bylo silně kritizováno.[20][21] Experimentální nálezy byly většinou založeny na videomikroskopii, ale byla zpochybněna analýza dat, která se týkala role nečistot, vhodnosti technik zpracování obrazu,[10] a role hydrodynamických interakcí.[22]
Zatímco komunita zůstává skeptická, pokud jde o existenci účinných atrakcí mezi podobně nabitými druhy, nedávné simulace počítačové molekulární dynamiky s výslovným popisem rozpouštědla ukázaly, že rozpouštědlo hraje důležitou roli pro strukturu nabitých druhů v roztoku, zatímco PB primitivní model většinu těchto efektů nezohledňuje.[23] Konkrétně rozpouštědlo hraje klíčovou roli v lokalizaci náboje difúzních iontů v doménách bohatých na ionty, které přibližují nabité druhy k sobě. Na základě této myšlenky simulace vysvětlily experimentální trendy, jako je zmizení rozptylového píku v roztokech polyelektrolytů bez solí, které PB a primitivní modelové přístupy nevysvětlují.[24]
Relevantnost
Interakce dvou vrstev jsou relevantní v celé řadě jevů.[4] Tyto síly jsou zodpovědné za otoky jíly. Mohou také odpovídat za stabilizaci koloidní suspenze a zabrání agregace částic vysoce nabitých koloidních částic ve vodných suspenzích. Při nízkých koncentracích solí mohou být odpudivé síly dvou vrstev poměrně dlouhé a mohou vést ke strukturování koloidních suspenzí a případně k tvorbě koloidní krystaly. Tyto odpudivé síly mohou dále vyvolávat blokování povrchů během depozice částic. Interakce dvou vrstev jsou stejně relevantní pro agregáty povrchově aktivních látek a mohou být odpovědné za stabilizaci kubických fází vyrobených z sféroidních micely nebo lamelární fáze sestávající z povrchově aktivní látka nebo lipidové dvojvrstvy.
Viz také
Reference
- ^ A b C d W. B. Russel, D. A. Saville, W. R. Schowalter, Koloidní disperze. Cambridge University Press: Cambridge, 1989.
- ^ Idson, Bernard (1967). „Adsorpce na kůži a vlasy“. Journal of the Society of Cosmetic Chemists. 18: 91–103 - prostřednictvím Společnosti kosmetických chemiků.
- ^ A b C J. Israelachvili, Intermolecular and Surface Forces. Academic Press: London, 1992.
- ^ A b C d D. F. Evans, H. Wennerstöm, Koloidní doména, John Wiley-VCH, New York, 1999.
- ^ A b Carnie, Steven L .; Chan, Derek Y.C. (1993). "Interakce energie zdarma mezi destičkami s regulací náboje: linearizovaný model". Journal of Colloid and Interface Science. Elsevier BV. 161 (1): 260–264. doi:10.1006 / jcis.1993.1464. ISSN 0021-9797.
- ^ Subramanian, Vivek; Ducker, William (2001). "Proximální adsorpce kationtové povrchově aktivní látky na oxidu křemičitém v rovnováze". The Journal of Physical Chemistry B. Americká chemická společnost (ACS). 105 (7): 1389–1402. doi:10.1021 / jp003168f. ISSN 1520-6106.
- ^ A b Popa, Ionel; Sinha, Prashant; Finessi, Marco; Maroni, Plinio; Papastavrou, Georg; Borkovec, Michal (02.06.2010). „Důležitost regulace poplatků v atraktivních silách dvou vrstev mezi různými povrchy“. Dopisy o fyzické kontrole. Americká fyzická společnost (APS). 104 (22): 228301. doi:10.1103 / physrevlett.104.228301. ISSN 0031-9007. PMID 20867210.
- ^ Pashley, R. M. (1981). "DLVO a hydratační síly mezi slídovými povrchy v Li+, Na+, K.+a Čs+ roztoky elektrolytů: Korelace dvouvrstvých a hydratačních sil s vlastnostmi povrchového kationtového výměny ". Journal of Colloid and Interface Science. Elsevier BV. 83 (2): 531–546. doi:10.1016/0021-9797(81)90348-9. ISSN 0021-9797.
- ^ Kane, Victoria; Mulvaney, Paul (1998). „Interakce dvouvrstevných vrstev mezi samo-sestavenými monovrstvy kyseliny ω-merkaptoundekanové na povrchech zlata“. Langmuir. Americká chemická společnost (ACS). 14 (12): 3303–3311. doi:10.1021 / la971296y. ISSN 0743-7463.
- ^ A b Gutsche, C .; Keyser, U. F .; Kegler, K .; Kremer, F .; Linse, P. (2007-09-25). "Síly mezi jednotlivými páry nabitých koloidů ve vodných solných roztocích". Fyzický přehled E. Americká fyzická společnost (APS). 76 (3): 031403. doi:10.1103 / physreve.76.031403. ISSN 1539-3755. PMID 17930243.
- ^ A b Dobnikar, Jure; Brunner, Matthias; von Grünberg, Hans-Hennig; Bechinger, Clemens (10.03.2004). „Interakce tří těl v koloidních systémech“. Fyzický přehled E. Americká fyzická společnost (APS). 69 (3): 031402. doi:10.1103 / physreve.69.031402. ISSN 1539-3755. PMID 15089289. S2CID 36231660.
- ^ A b Levin, Yan (2002-09-26). "Elektrostatické korelace: od plazmy po biologii". Zprávy o pokroku ve fyzice. 65 (11): 1577–1632. arXiv:cond-mat / 0207086. doi:10.1088/0034-4885/65/11/201. ISSN 0034-4885. S2CID 18515704.
- ^ P. Richmond, J. Chem. Soc. Farad. Trans. II 70 (1974) 1066-1073.
- ^ Miklavic, S. J .; Chan, D. Y. C .; White, L. R .; Healy, T. W. (1994). "Síly dvou vrstev mezi heterogenními nabitými povrchy". The Journal of Physical Chemistry. Americká chemická společnost (ACS). 98 (36): 9022–9032. doi:10.1021 / j100087a034. ISSN 0022-3654.
- ^ Guldbrand, Lars; Jönsson, Bo; Wennerström, Håkan; Linse, Per (1984). „Elektrické síly dvou vrstev. Studie Monte Carlo“. The Journal of Chemical Physics. Publikování AIP. 80 (5): 2221–2228. doi:10.1063/1.446912. ISSN 0021-9606.
- ^ Kjellander, Roland; Marcělja, Stjepan (1984). "Korelační a obrazové nábojové efekty v elektrických dvojitých vrstvách". Dopisy o chemické fyzice. Elsevier BV. 112 (1): 49–53. doi:10.1016/0009-2614(84)87039-6. ISSN 0009-2614.
- ^ A b Kjellander, Roland; Åkesson, Torbjörn; Jönsson, Bo; Marčelja, Stjepan (15.07.1992). „Interakce dvou vrstev v mono- a dvojmocných elektrolytech: Porovnání anizotropní teorie HNC a simulací Monte Carlo“. The Journal of Chemical Physics. Publikování AIP. 97 (2): 1424–1431. doi:10.1063/1.463218. ISSN 0021-9606.
- ^ Sogami, Ikuo; Ise, Norio (1984-12-20). "O elektrostatické interakci v makroiontových roztocích". The Journal of Chemical Physics. Publikování AIP. 81 (12): 6320–6332. doi:10.1063/1.447541. ISSN 0021-9606.
- ^ Crocker, John C .; Grier, David G. (1996-08-26). „When Like Charges přilákat: Účinky geometrického omezení na dálkové koloidní interakce“. Dopisy o fyzické kontrole. Americká fyzická společnost (APS). 77 (9): 1897–1900. doi:10.1103 / physrevlett.77.1897. ISSN 0031-9007. PMID 10063199.
- ^ Overbeek, J. Theodoor G. (1987-10-15). "O elektrostatické interakci v makroiontových roztocích a suspenzích". The Journal of Chemical Physics. Publikování AIP. 87 (8): 4406–4408. doi:10.1063/1.452851. ISSN 0021-9606.
- ^ Wu, J .; Bratko, D .; Prausnitz, J. M. (1998-12-22). „Interakce mezi podobně nabitými koloidními kuličkami v roztokech elektrolytů“. Sborník Národní akademie věd USA. Sborník Národní akademie věd. 95 (26): 15169–15172. doi:10.1073 / pnas.95.26.15169. ISSN 0027-8424. PMC 28014. PMID 9860940.
- ^ Squires, Todd M .; Brenner, Michael P. (12.12.2000). „Přitažlivost stejného náboje a hydrodynamická interakce“. Dopisy o fyzické kontrole. 85 (23): 4976–4979. arXiv:cond-mat / 0003195. doi:10.1103 / fyzrevlett.85.4976. ISSN 0031-9007. PMID 11102165. S2CID 6353949.
- ^ Chremos, A .; Douglas, J. (08.03.2019). "Vliv solvatace na strukturu vysoce nabitých nanočástic v solných roztokech". Polymer. Elsevier. 170: 107–112. doi:10.1016 / j.polymer.2019.03.005.
- ^ Chremos, A .; Horkay, F. (2020-07-27). „Zmizení píku polyelektrolytu v roztocích bez solí“. Phys. Rev.. Americká fyzická společnost (APS). 102 (1): 012611. doi:10.1103 / PhysRevE.102.012611. PMID 32794995.