Derjaguinová aproximace - Derjaguin approximation

Derjaguinová aproximace vztahovala sílu mezi dvěma koulemi (nahoře) a energii interakce mezi dvěma deskami (dole).

The Derjaguinová aproximace (nebo někdy také označovaný jako přibližná blízkost) kvůli ruskému vědci Boris Derjaguin vyjadřuje platnost profil působící mezi tělesy konečné velikosti, pokud jde o silový profil mezi dvěma rovinnými polo nekonečnými stěnami.^[1] Tato aproximace je široce používána pro odhad sil mezi koloidní částice, protože síly mezi dvěma rovinnými tělesy se často počítají mnohem snadněji. Derjaguinová aproximace vyjadřuje sílu F(h) mezi dvěma tělesy v závislosti na oddělení povrchu jako^[2]

${ displaystyle F (h) = 2 pi R _ { rm {eff}} W (h),}$

kde Ž(h) je interakční energie na jednotku plochy mezi dvěma rovinnými stěnami a R_eff efektivní poloměr. Když jsou tato dvě těla dvě koule o poloměru R₁ a R₂efektivní poloměr je dán vztahem

${ displaystyle R _ { rm {eff}} ^ {- 1} = R_ {1} ^ {- 1} + R_ {2} ^ {- 1}.}$

Experimentální silové profily mezi makroskopickými tělesy měřené pomocí aparát povrchových sil (SFA)^[3] nebo technika koloidní sondy^[4] jsou často uváděny jako poměr F(h)/R_eff.

Příslušná množství a platnost

Síla F(h) mezi dvěma těly souvisí s interakcí volná energie U(h) tak jako

${ displaystyle F (h) = - {dU nad dh},}$

kde h je oddělení od povrchu k povrchu. Naopak, když je známý silový profil, lze vyhodnotit energii interakce jako

${ displaystyle U (h) = int _ {h} ^ { infty} F (h ') , dh'.}$

Když vezmeme v úvahu dvě rovinné stěny, odpovídající množství jsou vyjádřena na jednotku plochy. Odpojovací tlak je síla na jednotku plochy a lze jej vyjádřit derivací

${ displaystyle Pi (h) = - {dW nad dh},}$

kde Ž(h) je povrchová volná energie na jednotku plochy. Naopak, jeden má

${ displaystyle W (h) = int _ {h} ^ { infty} Pi (h ') , dh'.}$

Hlavním omezením Derjaguinovy ​​aproximace je to, že platí pouze na vzdálenosti mnohem menší, než je velikost příslušných objektů, konkrétně h ≪ R₁ a h ≪ R₂. Dále se jedná o aproximaci kontinua, a tedy platí na vzdálenosti větší než stupnice molekulové délky. I když se jedná o drsné povrchy, ukázalo se, že tato aproximace je platná v mnoha situacích.^[5] Rozsah jeho platnosti je omezen na vzdálenosti větší než je charakteristická velikost souboru drsnost povrchu funkce (např. průměrná kvadratická drsnost).

Speciální případy

Často používané geometrie pro aproximaci Derjaguin. Dvě stejné koule, rovinná stěna a koule a dva kolmo protínající se válce (zleva doprava).

Uvažované časté geometrie zahrnují interakci mezi dvěma identickými kouli o poloměru R kde se stane efektivní poloměr

${ displaystyle R _ { rm {eff}} = R / 2.}$

V případě interakce mezi koulí o poloměru R a rovinný povrch, jeden má

${ displaystyle R _ { rm {eff}} = R.}$

Výše uvedené dva vztahy lze získat jako speciální případy výrazu pro R_eff uvedené výše. Pro situaci kolmo protínajících se válců, jak se používá v aparátu povrchových sil, jeden má

${ displaystyle R _ { rm {eff}} = { sqrt {R_ {1} R_ {2}}},}$

kde R₁ a R₂ jsou poloměry zakřivení dvou zapojených válců.

Zjednodušená derivace

Vysvětlení týkající se odvození Derjaguinovy ​​aproximace pro dvě stejné sféry.

Zvažte sílu F(h) mezi dvěma identickými kouli o poloměru R jako ilustrace. Předpokládá se, že povrchy obou příslušných koulí jsou nakrájeny na nekonečně malé disky šířky dr a poloměr r jak je znázorněno na obrázku. Síla je dána součtem příslušných tlaků bobtnání mezi dvěma disky

${ displaystyle F = int Pi (x) , dA,}$

kde X je vzdálenost mezi disky a dA oblast jednoho z těchto disků. Tuto vzdálenost lze vyjádřit jako X=h+2y. Uvážením Pythagorova věta na šedém trojúhelníku zobrazeném na obrázku

${ displaystyle R ^ {2} = (R-y) ^ {2} + r ^ {2}.}$

Rozšiřování tohoto výrazu a uvědomování si toho y ≪ R jeden zjistí, že oblast disku může být vyjádřena jako

${ displaystyle dA = 2 pi r , dr = 2 pi R , dy = pi R , dx.}$

Sílu lze nyní zapsat jako

${ displaystyle F (h) = pi R int _ {h} ^ { infty} Pi (x) , dx = pi RW (h),}$

kde Ž(h) je povrchová volná energie na jednotku plochy zavedená výše. Při zavedení výše uvedené rovnice byl horní limit integrace nahrazen nekonečnem, které je přibližně správné, pokud h ≪ R.

Obecný případ

V obecném případě dvou konvexních těles lze efektivní poloměr vyjádřit následovně^[6]

${ displaystyle { frac {1} {R _ { rm {eff}} ^ {2}}} = left ({ frac {1} {R '_ {1}}} + { frac {1} {R '_ {2}}} right) left ({ frac {1} {R' '_ {1}}} + { frac {1} {R' '_ {2}}} right ) + left ({ frac {1} {R '_ {1}}} - { frac {1} {R' '_ {1}}} right) left ({ frac {1} { R '_ {2}}} - { frac {1} {R' '_ {2}}} right) sin ^ {2} varphi,}$

kde R '_i a R "_i jsou hlavní poloměry zakřivení pro povrchy i = 1 a 2, hodnoceno v bodech nejbližší přibližovací vzdálenosti, a φ je úhel mezi rovinami rozprostřenými kruhy s menšími poloměry zakřivení. Pokud jsou tělesa nesférická kolem polohy nejbližšího přiblížení, a točivý moment mezi těmito dvěma orgány se vyvíjí a je dán^[6]

${ displaystyle T = pi R _ { rm {eff}} ^ {3} V (h) vlevo ({ frac {1} {R '_ {1}}} - { frac {1} {R '' _ {1}}} right) left ({ frac {1} {R '_ {2}}} - { frac {1} {R' _ {2}}} right) hřích 2 varphi,}$

kde

${ displaystyle V (h) = int _ {h} ^ { infty} W (h ') , dh'.}$

Výše uvedené výrazy pro dvě sféry jsou obnoveny nastavením R '_i = R "_i = R_i. V tomto případě točivý moment zmizí.

Výraz pro dva kolmo se protínající válce se získá z R '_i = R_i a R "_i → ∞. V tomto případě bude mít krouticí moment tendenci orientovat válce kolmo na odpudivé síly.

Tyto obecné vzorce byly použity k vyhodnocení přibližných interakčních sil mezi elipsoidy.^[7]

Za aproximací Derjaguin

Derjaguinová aproximace je jedinečná vzhledem ke své jednoduchosti a obecnosti. Pro zlepšení této aproximace byla navržena metoda integrace povrchových prvků a také přístup k integraci povrchů, aby se získaly přesnější výrazy sil mezi dvěma tělesy. Tyto postupy rovněž zohledňují relativní orientaci blížících se povrchů.^[8][9]

Viz také

Reference

Další čtení

• Zypman, F.R. (2006). "Přesné výrazy pro síly a energie interakce koloidní rovina-částice s aplikacemi pro mikroskopii atomových sil". J. Phys .: Condens. Hmota. 8 (10): 2795–2803. Bibcode:2006JPCM ... 18.2795Z. doi:10.1088/0953-8984/18/10/005.