Topologie dělitele - Divisor topology

V matematice, konkrétněji obecná topologie, topologie dělitele je specifický topologie na scéně ${ displaystyle X = {2,3,4, ... }}$ pozitivní celá čísla větší než nebo rovno dvěma. Topologie dělitele je topologie poset pro částečná objednávka vztah dělitelnost celých čísel zapnuto ${ displaystyle X}$.

Konstrukce

Sady ${ displaystyle S_ {n} = {x v X: x mathop {|} n }}$ pro ${ displaystyle n = 2,3, ...}$ tvoří a základ pro topologie dělitele^[1] na ${ displaystyle X}$, kde notace ${ displaystyle x mathop {|} n}$ prostředek ${ displaystyle x}$ je dělitel ${ displaystyle n}$.

Otevřenými množinami v této topologii jsou nižší sady pro dílčí pořadí definované ${ displaystyle x leq y}$ -li ${ displaystyle x mathop {|} y}$. Uzavřené sady jsou horní sady pro tuto částečnou objednávku.

Vlastnosti

Všechny níže uvedené vlastnosti jsou prokázány v ^[1] nebo vyplývá přímo z definic.

• Uzavření bodu ${ displaystyle x v X}$ je množina všech násobků ${ displaystyle x}$.
• Daný bod ${ displaystyle x v X}$, je nejmenší sousedství města ${ displaystyle x}$, jmenovitě základní otevřená sada ${ displaystyle S_ {x}}$ dělitelů ${ displaystyle x}$. Topologie dělitele je tedy Alexandrovská topologie.
• ${ displaystyle X}$ je T₀ prostor. Uvedeny dva body ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ s ${ displaystyle x$, otevřené sousedství ${ displaystyle S_ {x}}$ z ${ displaystyle x}$ neobsahuje ${ displaystyle y}$.
• ${ displaystyle X}$ není T₁ prostor, protože žádný bod není uzavřen. Tudíž, ${ displaystyle X}$ není Hausdorff.
• The izolované body z ${ displaystyle X}$ jsou prvočísla.
• Sada prvočísel je hustý v ${ displaystyle X}$. Ve skutečnosti musí každá hustá otevřená množina zahrnovat všechny prvočísla, a proto ${ displaystyle X}$ je Baireův prostor.
• ${ displaystyle X}$ je druhý spočetný.
• ${ displaystyle X}$ je ultra propojeno, protože uzávěry singletonů ${ displaystyle {x }}$ a ${ displaystyle {y }}$ obsahovat produkt ${ displaystyle xy}$ jako společný prvek.
• Proto ${ displaystyle X}$ je normální prostor. Ale ${ displaystyle X}$ není úplně normální. Například singletony ${ displaystyle {6 }}$ a ${ displaystyle {4 }}$ jsou oddělené sady (6 není násobkem 4 a 4 není násobkem 6), ale nemají žádné disjunktní otevřené čtvrti, protože jejich nejmenší příslušné otevřené čtvrti se setkávají netriviálně v ${ displaystyle S_ {6} čepice S_ {4} = S_ {2}}$.
• ${ displaystyle X}$ není běžný prostor, jako základní sousedství ${ displaystyle S_ {x}}$ je konečný, ale uzavření bodu je nekonečné.
• ${ displaystyle X}$ je připojeno, místně připojen, cesta připojena a místně připojená cesta.
• ${ displaystyle X}$ je rozptýlený prostor, protože každá neprázdná podmnožina má první prvek, který je izolovaným prvkem sady.
• The kompaktní podmnožiny z ${ displaystyle X}$ jsou konečné podmnožiny, protože libovolná množina ${ displaystyle A subseteq X}$ je pokryta sbírkou všech základních otevřených sad ${ displaystyle S_ {n}}$, které jsou každá konečná, a pokud ${ displaystyle A}$ je pokryto jen konečně mnoha z nich, musí být samo o sobě konečné. Zejména, ${ displaystyle X}$ není kompaktní.
• ${ displaystyle X}$ je místně kompaktní v tom smyslu, že každý bod má kompaktní sousedství (${ displaystyle S_ {x}}$ je konečný). Ale body nemají uzavřená kompaktní sousedství (${ displaystyle X}$ není místně relativně kompaktní.)

Reference

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Protiklady v topologii (Dover Publications dotisk z roku 1978 ed.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-486-68735-3, PAN  0507446