Nastavená vzdálenost - Distance set - Wikipedia
v geometrie, nastavená vzdálenost kolekce bodů je soubor z vzdálenosti mezi odlišnými dvojicemi bodů. Lze jej tedy považovat za zobecnění a sada rozdílů, množina vzdáleností (a jejich negací) ve sbírkách čísel.
Několik problémů a výsledků v geometrii se týká množin vzdáleností, obvykle založených na principu, že velká sbírka bodů musí mít velkou množinu vzdáleností (pro různé definice „velké“):
- Falconerova domněnka je prohlášení, že pro sbírku bodů v -rozměrný prostor, který má Hausdorffova dimenze větší než , odpovídající nastavená vzdálenost má nenulovou hodnotu Lebesgueovo opatření. I když jsou známy dílčí výsledky, domněnka zůstává neprokázaná.[1]
- The Erdős – Ulamův problém ptá se, zda je možné mít hustá sada v Euklidovské letadlo jehož vzdálenost se skládá pouze z racionální čísla. Opět zůstává nevyřešen.[2]
- Fermatova věta o součtech dvou čtverců charakterizuje čísla v množině vzdálenosti dvourozměrného celočíselná mřížka: jsou to odmocniny celých čísel, jejichž prvočíselná faktorizace neobsahuje lichý počet kopií jakéhokoli prvočísla shodného se 3 modem 4. Analogicky, Legendrova věta o třech čtvercích charakterizuje množinu vzdáleností trojrozměrné celočíselné mřížky a Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích charakterizuje sadu vzdáleností celočíselných mřížek ve čtyřech a vyšších dimenzích jako odmocniny celých čísel bez jakýchkoli dalších omezení. V mřížkách pěti nebo více dimenzí je každá podmnožina mřížky nenulová horní hustota má sadu vzdáleností obsahující čtverce nekonečna aritmetický postup.[3]
- Podle Erdős – Anningova věta, každá nekonečná množina bodů v euklidovské rovině, která neleží na jedné přímce, má v množině vzdáleností necelé číslo.[4]
- Čtvercové mřížky bodů mají sady vzdáleností sublearní velikosti, na rozdíl od bodů v obecná pozice jehož vzdálenost je kvadratická. Podle řešení z roku 2015 Erdőův problém se značnými vzdálenostmi podle Larry Guth a Sítě Katz, sada vzdáleností jakékoli konečné kolekce bodů v euklidovské rovině je jen mírně sublineární, téměř tak velká jako daná kolekce.[5] Zejména pouze konečná sbírka bodů může mít nastavenou konečnou vzdálenost.
- A Golombův vládce je konečná množina bodů na přímce tak, že žádné dva páry bodů nemají stejnou vzdálenost. Sophie Piccard tvrdil, že žádné dva vládci Golombů nemají stejné vzdálenosti. Toto tvrzení je nesprávné, ale existuje pouze jeden protipříklad, dvojice šestibodových vládců Golomb se sadou sdílených vzdáleností.[6]
- The rovnostranný rozměr a metrický prostor je největší velikost kolekce bodů, jejichž nastavená vzdálenost má pouze jeden prvek. Kusnerova domněnka uvádí, že rovnostranný rozměr a -rozměrný prostor s Vzdálenost na Manhattanu je přesně , ale toto zůstává neprokázané.[7]
Sady vzdálenosti byly také použity jako a deskriptor tvaru v počítačové vidění.[8]
Reference
- ^ Arutyunyants, G .; Iosevich, A. (2004), „Falconerova domněnka, sférické průměry a diskrétní analogy“, v Pach, János (vyd.), Směrem k teorii geometrických grafů, Contemp. Matematika., 342, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, s. 15–24, doi:10.1090 / conm / 342/06127, PAN 2065249
- ^ Klee, Victor; Wagon, Stan (1991), „Problém 10 Obsahuje letadlo hustou racionální množinu?“, Staré a nové nevyřešené problémy v rovinné geometrii a teorii čísel, Dolciani matematické expozice, 11, Cambridge University Press, s. 132–135, ISBN 978-0-88385-315-3.
- ^ Magyar, Ákos (2008), „On distance sets of large sets of integer points“, Israel Journal of Mathematics, 164: 251–263, doi:10.1007 / s11856-008-0028-z, PAN 2391148, S2CID 17629304
- ^ Anning, Norman H .; Erdős, Paul (1945), „Integrální vzdálenosti“, Bulletin of the American Mathematical Society, 51 (8): 598–600, doi:10.1090 / S0002-9904-1945-08407-9.
- ^ Guth, Larry; Katz, Nets Hawk (2015), „K problému Erdőových odlišných vzdáleností v letadle“, Annals of Mathematics, 181 (1): 155–190, arXiv:1011.4105, doi:10.4007 / annals.2015.181.1.2, PAN 3272924
- ^ Bekir, Ahmad; Golomb, Solomon W. (2007), „Neexistují žádné další protipříklady věty S. Piccarda“, Transakce IEEE na teorii informací, 53 (8): 2864–2867, doi:10.1109 / TIT.2007.899468, PAN 2400501, S2CID 16689687
- ^ Koolen, Jack; Laurent, Monique; Schrijver, Alexander (2000), „Rovnostranný rozměr přímočarého prostoru“, Designy, kódy a kryptografie, 21 (1): 149–164, doi:10.1023 / A: 1008391712305, PAN 1801196, S2CID 9391925
- ^ Grigorescu, C .; Petkov, N. (říjen 2003), „Vzdálenosti pro tvarové filtry a rozpoznávání tvarů“ (PDF), Transakce IEEE na zpracování obrazu, 12 (10): 1274–1286, doi:10.1109 / tip.2003.816010, PMID 18237892