Erdős – Anningova věta - Erdős–Anning theorem

The Erdős – Anningova věta uvádí, že nekonečný počet bodů v rovině může být vzájemný celé číslo vzdálenosti, pouze pokud všechny body leží na a přímka. Je pojmenován po Paul Erdős a Norman H. Anning, který o tom vydal důkaz v roce 1945.^[1]

Racionalita versus integrita

Ačkoli nemůže existovat nekonečná nekolineární množina bodů s celočíselnými vzdálenostmi, existují nekonečné nekolineární množiny bodů, jejichž vzdálenosti jsou racionální čísla. (Stále nevyřešený) Erdős – Ulamův problém ptá se, zda může existovat a hustá sada bodů v rovině v racionálních vzdálenostech od sebe navzájem.

Pro jakoukoli konečnou množinu S bodů v racionálních vzdálenostech od sebe, je možné najít a podobný množina bodů v celočíselných vzdálenostech od sebe, rozšiřováním S faktorem nejmenší společný jmenovatel vzdáleností v S. Proto existují libovolně velké konečné sady nekolineárních bodů s celočíselnými vzdálenostmi od sebe navzájem. Včetně více bodů do S může způsobit zvýšení expanzního faktoru, takže tato konstrukce neumožňuje transformaci nekonečných množin bodů v racionálních vzdálenostech na nekonečné množiny bodů v celých vzdálenostech.

Důkaz

Chcete-li dokázat Erdős – Anningovu větu, je užitečné ji vyjádřit silněji, a to poskytnutím konkrétní hranice počtu bodů v množině s celočíselnými vzdálenostmi jako funkce maximální vzdálenosti mezi body. Přesněji řečeno, pokud sada tří nebo více nekolineárních bodů má celočíselné vzdálenosti, maximálně nějaké číslo ${displaystyle delta}$, pak maximálně ${displaystyle 4 (delta +1) ^ {2}}$ do sady lze přidat body v celých vzdálenostech.

Chcete-li to vidět, nechte A, B a C být třemi nekolineárními členy množiny S bodů s celočíselnými vzdálenostmi, maximálně všechny ${displaystyle delta}$a nechte ${displaystyle d (A, B)}$, ${displaystyle d (A, C)}$, a ${displaystyle d (B, C)}$ být tři vzdálenosti mezi těmito třemi body. Nechat X být jakýmkoli dalším členem skupiny S. Z nerovnost trojúhelníku z toho vyplývá, že ${displaystyle | d (A, X) -d (B, X) |}$ je nezáporné celé číslo a je maximálně ${displaystyle delta}$. Pro každou z ${displaystyle delta +1}$ celočíselné hodnoty i v tomto rozsahu lokus bodů splňujících rovnici ${displaystyle | d (A, X) -d (B, X) | = i}$ tvoří a hyperbola s A a B jako jeho ohniska a X musí ležet na jednom z nich ${displaystyle delta +1}$ hyperboly. Symetrickým argumentem, X musí také ležet na jedné z rodiny ${displaystyle delta +1}$ hyperboly s B a C jako ohniska. Každá dvojice odlišných hyperboel, z nichž jedna je definována A a B a druhý je definován B a C, se mohou protínat maximálně ve čtyřech bodech a v každém bodě S (počítaje v to A, B, a C) leží na jednom z těchto průsečíků. Existuje nanejvýš ${displaystyle 4 (delta +1) ^ {2}}$ průsečíky dvojic hyperbola, a tedy nanejvýš ${displaystyle 4 (delta +1) ^ {2}}$ bodů v S.

Maximální bodové sady s integrálními vzdálenostmi

Alternativním způsobem vyjádření věty je, že nekolineární množinu bodů v rovině s celočíselnými vzdálenostmi lze rozšířit pouze přidáním konečně mnoha dalších bodů, než lze přidat další body. Sada bodů s celočíselnými souřadnicemi i celočíselnými vzdálenostmi, ke kterým nelze při zachování obou vlastností přidat další, tvoří Erdős – diofantický graf.

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Erdos-Anningova věta“. MathWorld.