Diskrétní Poissonova rovnice - Discrete Poisson equation

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Dubna 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, diskrétní Poissonova rovnice je konečný rozdíl obdoba Poissonova rovnice. V tom je diskrétní Laplaceův operátor nahrazuje místo Operátor Laplace. Diskrétní Poissonova rovnice se často používá v numerická analýza jako záskok pro spojitou Poissonovu rovnici, i když je také studován samostatně jako téma v diskrétní matematika.

Na dvourozměrné obdélníkové mřížce

Za použití konečný rozdíl numerická metoda pro diskretizaci 2-dimenzionální Poissonovy rovnice (za předpokladu jednotné prostorové diskretizace, ${displaystyle Delta x = Delta y}$) na m × n mřížka dává následující vzorec:^[1]

${displaystyle ({abla} ^ {2} u) _ {ij} = {frac {1} {Delta x ^ {2}}} (u_ {i + 1, j} + u_ {i-1, j} + u_ {i, j + 1} + u_ {i, j-1} -4u_ {ij}) = g_ {ij}}$

kde ${displaystyle 2leq ileq m-1}$ a ${displaystyle 2leq jleq n-1}$. Upřednostňovaným uspořádáním vektoru řešení je použití přirozené objednávání který by před odstraněním hraničních prvků vypadal takto:

${displaystyle {vec {u}} = {egin {bmatrix} u_ {11}, u_ {21}, ldots, u_ {m1}, u_ {12}, u_ {22}, ldots, u_ {m2}, ldots, u_ {mn} konec {bmatrix}} ^ {T}}$

Výsledkem bude mn × mn lineární systém:

${displaystyle A {vec {u}} = {vec {b}}}$

kde

${displaystyle A = {egin {bmatrix} ~ D & -I & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ldots & ~ 0 -I & ~ D & -I & ~ 0 & ~ 0 & ldots & ~ 0 ~ 0 & -I & ~ D & -I & ~ 0 & ldots & ~ 0 vdots & ddots & ddots & ddots & ddots & ddots & vdots ~ 0 & ldots & ~ 0 & -I & ~ D & -I & ~ 0 ~ 0 & ldots & ldots & ~ 0 & -I & ~ D & -I ~ 0 & ldots & ldots & ldots & ~ 0 & -I & ~ Dend {b },}$

${displaystyle I}$ je m × m matice identity, a ${displaystyle D}$, taky m × m, darováno:

${displaystyle D = {egin {bmatrix} ~ 4 & -1 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ldots & ~ 0 -1 & ~ 4 & -1 & ~ 0 & ~ 0 & ldots & ~ 0 ~ 0 & -1 & ~ 4 & -1 & ~ 0 & ldots & ~ 0 vdots & ddots & ddots & ddots & ddots & ddots & vdots ~ 0 & ldots & ~ 0 & -1 & ~ 4 & -1 & ~ 0 ~ 0 & ldots & ldots & ~ 0 & -1 & ~ 4 & -1 ~ 0 & ldots & ldots & ldots & ~ 0 & -1 & ~ 4end {bmatrix} },}$

^[2]a ${displaystyle {vec {b}}}$ je definováno

${displaystyle {vec {b}} = - Delta x ^ {2} {egin {bmatrix} g_ {11}, g_ {21}, ldots, g_ {m1}, g_ {12}, g_ {22}, ldots, g_ {m2}, ldots, g_ {mn} end {bmatrix}} ^ {T}.}$

Pro každého ${displaystyle u_ {ij}}$ rovnice, sloupce ${displaystyle D}$ odpovídají bloku ${displaystyle m}$ komponenty v ${displaystyle u}$:

${displaystyle {egin {bmatrix} u_ {1j}, & u_ {2j}, & ldots, & u_ {i-1, j}, & u_ {ij}, & u_ {i + 1, j}, & ldots, & u_ {mj} end { bmatrix}} ^ {T}}$

zatímco sloupce ${displaystyle I}$ nalevo a napravo od ${displaystyle D}$ každý odpovídá dalším blokům ${displaystyle m}$ komponenty uvnitř ${displaystyle u}$:

${displaystyle {egin {bmatrix} u_ {1, j-1}, & u_ {2, j-1}, & ldots, & u_ {i-1, j-1}, & u_ {i, j-1}, & u_ {i + 1, j-1}, & ldots, & u_ {m, j-1} end {bmatrix}} ^ {T}}$

a

${displaystyle {egin {bmatrix} u_ {1, j + 1}, & u_ {2, j + 1}, & ldots, & u_ {i-1, j + 1}, & u_ {i, j + 1}, & u_ {i + 1, j + 1}, & ldots, & u_ {m, j + 1} end {bmatrix}} ^ {T}}$

resp.

Z výše uvedeného lze odvodit, že existují ${displaystyle n}$ blokovat sloupce z ${displaystyle m}$ v ${displaystyle A}$. Je důležité si uvědomit, že předepsané hodnoty ${displaystyle u}$ (obvykle leží na hranici) by byly odstraněny jejich odpovídající prvky ${displaystyle I}$ a ${displaystyle D}$. Pro běžný případ, kdy jsou nastaveny všechny uzly na hranici, máme ${displaystyle 2leq ileq m-1}$ a ${displaystyle 2leq jleq n-1}$, a systém by měl rozměry (m − 2)(n − 2) × (m − 2)(n - 2), kde ${displaystyle D}$ a ${displaystyle I}$ bude mít rozměry (m − 2) × (m − 2).

Příklad

Pro 5 × 5 ( ${displaystyle m = 5}$ a ${displaystyle n = 5}$ ) mřížka se všemi předepsanými hraničními uzly, systém by vypadal takto:

${displaystyle {egin {bmatrix} Uend {bmatrix}} = {egin {bmatrix} u_ {22}, u_ {32}, u_ {42}, u_ {23}, u_ {33}, u_ {43}, u_ { 24}, u_ {34}, u_ {44} konec {bmatrix}} ^ {T}}$

s

${displaystyle A = left [{egin {array} {ccc | ccc | ccc} ~ 4 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 -1 & ~ 4 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 ~ 0 & -1 & ~ 4 & ~ 0 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 hline -1 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 4 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & ~ 0 ~ 0 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 4 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 0 ~ 0 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 4 & ~ 0 & ~ 0 & -1 hline ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 4 & -1 & ~ 0 ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 4 & -1 ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 4end {pole}} v noci]}$

a

${displaystyle {vec {b}} = left [{egin {array} {l} -Delta x ^ {2} g_ {22} + u_ {12} + u_ {21} - Delta x ^ {2} g_ { 32} + u_ {31} ~~~~~~~~~ -Delta x ^ {2} g_ {42} + u_ {52} + u_ {41} - Delta x ^ {2} g_ {23} + u_ {13} ~~~~~~~~~ -Delta x ^ {2} g_ {33} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ -Delta x ^ {2} g_ { 43} + u_ {53} ~~~~~~~~~ -Delta x ^ {2} g_ {24} + u_ {14} + u_ {25} - Delta x ^ {2} g_ {34} + u_ {35} ~~~~~~~~~ -Delta x ^ {2} g_ {44} + u_ {54} + u_ {45} konec {pole}} vpravo].}$

Jak je vidět, hranice ${displaystyle u}$jsou přivedeny na pravou stranu rovnice.^[3] Celý systém je 9 × 9 ${displaystyle D}$ a ${displaystyle I}$ jsou 3 × 3 a jsou dány:

${displaystyle D = {egin {bmatrix} ~ 4 & -1 & ~ 0 -1 & ~ 4 & -1 ~ 0 & -1 & ~ 4 end {bmatrix}}}$

a

${displaystyle -I = {egin {bmatrix} -1 & ~ 0 & ~ 0 ~ 0 & -1 & ~ 0 ~ 0 & ~ 0 & -1end {bmatrix}}.}$

Metody řešení

Protože ${displaystyle {egin {bmatrix} Aend {bmatrix}}}$ je blokový tridiagonální a řídký, bylo vyvinuto mnoho metod řešení pro optimální řešení tohoto lineárního systému ${displaystyle {egin {bmatrix} Uend {bmatrix}}}$Mezi metodami jsou zobecněné Thomasův algoritmus s výslednou výpočetní složitostí ${displaystyle O (n ^ {2.5})}$, cyklická redukce, postupná nadměrná léčba to má složitost ${displaystyle O (n ^ {1.5})}$, a Rychlé Fourierovy transformace který je ${displaystyle O (nlog (n))}$. Optimální ${displaystyle O (n)}$ řešení lze také vypočítat pomocí multigridové metody. ^[4]

Poissonova konvergence různých iteračních metod s normami nekonečna reziduí proti počtu iterací a počítačovému času.

Aplikace

v výpočetní dynamika tekutin, pro řešení problému s nestlačitelným průtokem působí podmínka nestlačitelnosti jako omezení tlaku. V tomto případě není pro tlak k dispozici žádná explicitní forma kvůli silné vazbě rychlostních a tlakových polí. V této podmínce získáme odchylkou všech členů v rovnici hybnosti rovnici tlakového poissonu.

U nestlačitelného toku je toto omezení dáno vztahem:

${displaystyle {frac {částečné v_ {x}} {částečné x}} + {frac {částečné v_ {y}} {částečné y}} + {frac {částečné v_ {z}} {částečné z}} = 0}$

kde ${displaystyle v_ {x}}$ je rychlost v ${displaystyle x}$ směr, ${displaystyle v_ {y}}$ rychlost v ${displaystyle y}$ a ${displaystyle v_ {z}}$ je rychlost v ${displaystyle z}$ směr. Když vezmeme divergenci rovnice hybnosti a použijeme omezení nestlačitelnosti, je rovnice tlakového poissonu dána vztahem:

${displaystyle abla ^ {2} p = f (u, V)}$

kde ${displaystyle u}$ je kinematická viskozita kapaliny a ${displaystyle V}$ je vektor rychlosti.^[5]

Diskrétní Poissonova rovnice vzniká v teorii Markovovy řetězy. Jeví se jako funkce relativní hodnoty pro rovnici dynamického programování v a Markovův rozhodovací proces a jako ovládání se mění pro aplikaci při redukci rozptylu simulace.^[6][7][8]

Poznámky pod čarou

Reference

• Hoffman, Joe D., Numerical Methods for Engineers and Scientists, 4th Ed.„McGraw – Hill Inc., New York, 1992.
• Sladký, Roland A., SIAM Journal on Numerical Analysis, roč. 11, č. 3 , Červen 1974, 506–520.
• Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Oddíl 20.4. Metody Fourierovy a cyklické redukce“. Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.). New York: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-88068-8.