Dirac – von Neumannovy axiomy - Dirac–von Neumann axioms

v matematická fyzika, Dirac – von Neumannovy axiomy dát matematická formulace kvantové mechaniky ve smyslu operátory na Hilbertův prostor. Byly představeny Paul Dirac v roce 1930 a John von Neumann v roce 1932.

Hilbertova formulace prostoru

Prostor ${ displaystyle mathbb {H}}$ je fixní komplex Hilbertův prostor z spočítatelné nekonečno dimenze.

The pozorovatelné a kvantový systém jsou definovány jako (případně neomezený ) operátoři s vlastním nastavením ${ displaystyle A}$ na ${ displaystyle mathbb {H}}$ .
A Stát ${ displaystyle psi}$ kvantového systému je a jednotkový vektor z ${ displaystyle mathbb {H}}$ , až do skalárních násobků.
The očekávaná hodnota pozorovatelného A pro systém ve stavu ${ displaystyle psi}$ je dán vnitřní produkt ${ displaystyle langle psi, A psi rangle}$ .

Formulace algebry operátora

Dirac – von Neumannovy axiomy lze formulovat jako a C * algebra jak následuje.

Omezený pozorovatelné kvantově mechanického systému jsou definovány jako samoadjungující prvky C * algebry.
Stavy kvantově mechanické soustavy jsou definovány jako státy C * algebry (jinými slovy normalizované kladné lineární funkcionály ${ displaystyle omega}$ ).
Hodnota ${ displaystyle omega (A)}$ státu ${ displaystyle omega}$ na prvku ${ displaystyle A}$ je očekávaná hodnota pozorovatelného ${ displaystyle A}$ pokud je kvantový systém ve stavu ${ displaystyle omega}$ .

Příklad

Pokud je C * algebra algebra všech ohraničených operátorů v Hilbertově prostoru ${ displaystyle mathbb {H}}$ , pak ohraničené pozorovatelny jsou pouze omezenými samoadjungujícími operátory ${ displaystyle mathbb {H}}$ . Li ${ displaystyle v}$ je jednotkový vektor ${ displaystyle mathbb {H}}$ pak ${ displaystyle omega (A) = langle v, Av rangle}$ je stav na algebře C *, což znamená, že jednotkové vektory (až po skalární násobení) dávají stavy systému. To je podobné Diracově formulaci kvantové mechaniky, ačkoli Dirac také umožňoval neomezené operátory a jasně nerozlišoval mezi operátory s vlastními adjunkce a hermitskými operátory.

Viz také

Reference

Dirac, Paul (1930), Principy kvantové mechaniky
Strocchi, F. (2008), Úvod do matematické struktury kvantové mechaniky. Krátký kurz pro matematikyAdvanced Series in Mathematical Physics, 28 (2. vyd.), World Scientific Publishing Co., Bibcode:2008ASMP ... 28 ..... S, doi:10.1142/7038, ISBN 9789812835222, PAN 2484367
Takhtajan, Leon A. (2008), Kvantová mechanika pro matematiky, Postgraduální studium matematiky, 95, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10,1090 / gsm / 095, ISBN 978-0-8218-4630-8, PAN 2433906
von Neumann, John (1932), Matematické základy kvantové mechaniky, Berlín: Springer, PAN 0066944