Diferenciální invariant - Differential invariant

v matematika, a diferenciální invariant je neměnný pro akce a Lež skupina v prostoru, který zahrnuje deriváty grafů funkcí v prostoru. Diferenciální invarianty jsou zásadní projektivní diferenciální geometrie a zakřivení je z tohoto hlediska často studována.^[1] Diferenciální invarianty zavedl ve zvláštních případech Sophus Lie na počátku 80. let 19. století a studoval ji Georges Henri Halphen ve stejnou dobu. Lež (1884) byla první obecnou prací o diferenciálních invariantech a navázala vztah mezi diferenciálními invarianty, invariantní diferenciální rovnice, a invariantní diferenciální operátory.

Diferenciální invarianty jsou porovnány s geometrickými invarianty. Zatímco diferenciální invarianty mohou zahrnovat rozlišenou volbu nezávislých proměnných (nebo parametrizaci), geometrické invarianty ne. Élie Cartan je způsob přesunu snímků je upřesnění, které, i když je méně obecné než Lieovy metody diferenciálních invariantů, vždy přináší invarianty geometrického druhu.

Definice

Nejjednodušší případ je pro diferenciální invarianty pro jednu nezávislou proměnnou X a jednu závislou proměnnou y. Nechat G být Lež skupina jednající na R². Pak G také působí místně na prostor všech grafů formuláře y = ƒ(X). Zhruba řečeno, a kdiferenciální invariant druhého řádu je funkce

${ displaystyle I left (x, y, { frac {dy} {dx}}, dots, { frac {d ^ {k} y} {dx ^ {k}}} right)}$

záleží na y a jeho první k deriváty s ohledem na X, to je neměnné v rámci akce skupiny.

Skupina může působit na deriváty vyššího řádu netriviálním způsobem, který vyžaduje výpočet prodloužení skupinové akce. Akce G na první derivaci je například takový, že řetězové pravidlo nadále drží: pokud

${ displaystyle ({ overline {x}}, { overline {y}}) = g cdot (x, y),}$

pak

${ displaystyle g cdot left (x, y, { frac {dy} {dx}} right) { stackrel { text {def}} {=}} left ({ overline {x}} , { overline {y}}, { frac {d { overline {y}}} {d { overline {x}}}} right).}$

Podobné úvahy platí pro výpočet vyšších prodloužení. Tato metoda výpočtu prodloužení je však nepraktická a je mnohem jednodušší pracovat nekonečně na úrovni Lež algebry a Derivát lži podél G akce.

Obecněji lze u mapování z libovolného uvažovat diferenciální invarianty hladké potrubí X do jiného hladkého potrubí Y pro lží skupinu působící na kartézský součin X×Y. Graf mapování X → Y je podmanifold X×Y to je všude příčně k vláknům X. Skupina G působí lokálně na prostor takových grafů a vyvolává akci na k-té prodloužení Y^(k) skládající se z grafů procházejících každým bodem modulo vztahu k-tý kontakt na objednávku. Diferenciální invariant je funkce zapnutá Y^(k) to je neměnné při prodloužení skupinové akce.

Aplikace

• Diferenciální invarianty lze použít ke studiu systémů parciální diferenciální rovnice: hledám řešení podobnosti které jsou invariantní při působení konkrétní skupiny, mohou zmenšit rozměr problému (tj. přinést „redukovaný systém“).^[2]
• Noetherova věta implikuje existenci diferenciálních invariants odpovídající každé diferencovatelné symetrii a variační problém.
• Průtokové charakteristiky použitím počítačové vidění^[3]
• Geometrická integrace

Viz také

• Cartanova metoda ekvivalence

Poznámky

Reference

• Guggenheimer, Heinrich (1977), Diferenciální geometrie, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-63433-3.
• Lež, Sophusi (1884), "Über Differentialinvarianten", Gesammelte Adhandlungen, 6, Lipsko: B.G. Teubner, str. 95–138; Anglický překlad: Ackerman, M; Hermann, R (1975), Sophus Lie's 1884 Differential Invariant PaperBrookline, Mass.: Math Sci Press.
• Olver, Peter J. (1993), Aplikace Lieových skupin na diferenciální rovnice (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94007-6.
• Olver, Peter J. (1995), Ekvivalence, invarianty a symetrie, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-47811-3.
• Mansfield, Elizabeth Louise (2009), Praktický průvodce k proměnnému počtu (PDF)^{[trvalý mrtvý odkaz ]}; zveřejní Cambridge 2010, ISBN  978-0-521-85701-7.

externí odkazy

• Invariantní variační problémy