Věta Denjoy – Wolff - Denjoy–Wolff theorem

v matematika, Věta Denjoy – Wolff je věta v komplexní analýza a dynamické systémy týkající se pevných bodů a iterací holomorfní mapování z jednotka disku v komplexní čísla do sebe. Výsledek byl nezávisle prokázán v roce 1926 francouzským matematikem Arnaud Denjoy a nizozemský matematik Julius Wolff.

Tvrzení

Teorém. Nechat D být otevřeným diskem jednotky v C a nechte F být mapováním holomorfní funkce D do D což není automatorfismus D (tj Möbiova transformace ). Pak je tu jedinečný bod z v závěru D tak, že iteruje F mají tendenci z rovnoměrně na kompaktní podskupiny D. Li z leží v D, je to jedinečný pevný bod F. Mapování F listy neměnné hyperbolické disky soustředěný na z, pokud z leží v Da disky tečné k jednotkové kružnici v z, pokud z leží na hranici D.

Když je pevný bod na z = 0, hyperbolické disky vycentrované na z jsou jen euklidovské disky se středem 0. Jinak F lze konjugovat Möbiovou transformací, takže pevný bod je nula. Níže je uveden základní důkaz věty převzatý z Shapiro (1993) a Burckel (1981). Dva další krátké důkazy najdete v Carleson & Gamelin (1993).

Důkaz věty

Pevný bod na disku

Li F má pevný bod z v D potom, po konjugaci Möbiovou transformací, lze předpokládat, že z = 0. Nechť M(r) být maximálním modulem F na | z | = r <1. Podle Schwarzovo lema^[1]

${ displaystyle | f (z) | leq delta (r) | z |,}$

pro |z| ≤ r, kde

${ displaystyle delta (r) = {M (r) nad r} <1.}$

Z iterace vyplývá, že

${ displaystyle | f ^ {n} (z) | leq delta (r) ^ {n}}$

pro |z| ≤ r. Tyto dvě nerovnosti znamenají v tomto případě výsledek.

Žádné pevné body

Když F působí v D bez pevných bodů Wolff ukázal, že existuje bod z na hranici takové, že iteruje F ponechat invariantní každý tangens disku k hranici v tomto bodě.

Udělejte sekvenci ${ displaystyle r_ {k}}$ zvýšení na 1 a nastavení^[2][3]

${ displaystyle f_ {k} (z) = r_ {k} f (z).}$

Aplikováním Rouchéova věta na ${ displaystyle f_ {k} (z) -z}$ a ${ displaystyle g (z) = z}$, ${ displaystyle f_ {k}}$ má přesně jednu nulu ${ displaystyle z_ {k}}$ v D. V případě potřeby lze předat subsekvenci, lze to předpokládat ${ displaystyle z_ {k} rightarrow z.}$ Bod z nemůže ležet D, protože přechodem k limitu z by musel být pevným bodem. Výsledek pro případ pevných bodů znamená, že mapy ${ displaystyle f_ {k}}$ ponechat invariantní všechny euklidovské disky, jejichž hyperbolický střed je umístěn na ${ displaystyle z_ {k}}$. Explicitní výpočty ukazují, že jako k zvětšuje, lze si vybrat takové disky, aby měly sklon k jakémukoli danému disku dotyčnici k hranici v z. Kontinuitou F ponechává každý takový disk Δ invariantní.

To vidět ${ displaystyle f ^ {n}}$ konverguje rovnoměrně na compacta do konstanty z, stačí ukázat, že totéž platí pro jakoukoli podsekvenci ${ displaystyle f ^ {n_ {k}}}$, konvergentní ve stejném smyslu jako G, řekněme. Taková omezení existují Montelova věta, a pokudG je nekonstantní, lze také předpokládat, že ${ displaystyle f ^ {n_ {k + 1} -n_ {k}}}$ má limit, h říci. Ale pak

${ displaystyle h (g (w)) = g (w),}$

pro w v D.

Od té doby h je holomorfní a G(D) otevřeno,

${ displaystyle h (w) = w}$

pro všechny w.

Nastavení ${ displaystyle m_ {k} = n_ {k + 1} -n_ {k}}$, lze také předpokládat, že ${ displaystyle f ^ {m_ {k} -1}}$ je konvergentní k F říci.

Ale pak F(F(w)) = w = F(F(w)), což je v rozporu se skutečností, že F není automorfismus.

Proto každá subsekvence inklinuje k nějaké konstantě rovnoměrně na compacta in D.

Invariance Δ implikuje, že každá taková konstanta spočívá v uzavření každého disku Δ, a tedy v jejich průsečíku, jediném bodě z. Podle věty Montel z toho vyplývá ${ displaystyle f ^ {n}}$ konverguje rovnoměrně na compacta do konstanty z.

Poznámky

Reference

• Beardon, A. F. (1990), "Iterace kontrakcí a analytické mapy", J. London Math. Soc., 41: 141–150
• Burckel, R. B. (1981), „Iterační analytické vlastní mapy disků“, Amer. Matematika. Měsíční, 88: 396–407, doi:10.2307/2321822
• Carleson, L .; Gamelin, T. D. W. (1993), Komplexní dynamikaUniversitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97942-5
• Denjoy, A. (1926), „Sur l'itération des fonctions analytiques“, C. R. Acad. Sci., 182: 255–257
• Shapiro, J. H. (1993), Skladatelské operátory a teorie klasických funkcíUniversitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN  0-387-94067-7
• Shoikhet, D. (2001), Poloskupiny v teorii geometrických funkcíKluwer Academic Publishers, ISBN  0-7923-7111-9
• Steinmetz, Norbert (1993), Racionální iterace. Složité analytické dynamické systémy, de Gruyter Studium matematiky, 16, Walter de Gruyter & Co., ISBN  3-11-013765-8
• Wolff, J. (1926), „Sur l'itération des fonctions holomorphes dans une région, et dont les valeurs appartiennent a cette région“, C. R. Acad. Sci., 182: 42–43
• Wolff, J. (1926), „Sur l'itération des fonctions bornées“, C. R. Acad. Sci., 182: 200–201
• Wolff, J. (1926), „Sur une généralisation d'un théorème de Schwarz“, C. R. Acad. Sci., 182: 918–920