Dehnovo letadlo - Dehn plane - Wikipedia

v geometrie, Dehn představil dva příklady letadel, a semi-euklidovská geometrie a a nelegendriánská geometrie, které mají nekonečně mnoho přímek rovnoběžných s daným, které procházejí daným bodem, ale kde součet úhlů trojúhelníku je alespoň $π$ . Podobný jev se vyskytuje v hyperbolická geometrie, kromě toho, že součet úhlů trojúhelníku je menší než $π$ . Dehnovy příklady používají nearchimédovské pole, takže Archimédův axiom je porušena. Byli představeni Max Dehn (1900 ) a projednáno Hilbert (1902, s. 127–130 nebo s. 42–43 v některých pozdějších vydáních).

Dehnovo nearchimédské pole Ω (t)

Ke konstrukci svých geometrií použil Dehn a non-Archimedean objednal Pythagorovo pole Ω (t), a Pythagorovský uzávěr oblasti racionálních funkcí R(t), skládající se z nejmenšího pole funkcí se skutečnou hodnotou na reálné linii obsahující skutečné konstanty, funkce identity t (převzetí jakéhokoli skutečného čísla pro sebe) a uzavřeno v rámci operace ${ textstyle omega mapsto { sqrt {1+ omega ^ {2}}}}$ . Pole Ω (t) se objednává uvedením X > y pokud je funkce X je větší než y pro dostatečně velké reality. Prvek X Ω (t) je nazýván konečný -li m < X < n pro některá celá čísla m,na je volán nekonečný v opačném případě.

Dehnova semi-euklidovská geometrie

Sada všech párů (X, y), kde X a y jsou jakékoli (možná nekonečné) prvky pole Ω (t) a obvyklým způsobem metrický

{ displaystyle | (x, y) | = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

který bere hodnoty v Ω (t), dává model Euklidovská geometrie. Paralelní postulát je v tomto modelu pravdivý, ale pokud je odchylka od kolmice nekonečně malá (což znamená menší než jakékoli kladné racionální číslo), protínající se čáry se protínají v bodě, který není v konečné části roviny. Pokud je tedy model omezen na konečnou část roviny (body (X,y) s X a y konečný), získá se geometrie, ve které paralelní postulát selže, ale součet úhlů trojúhelníku je $π$ . Toto je Dehnova semi-euklidovská geometrie. Je diskutována v Rucker (1982, s. 91–2).

Dehnova nelegendriánská geometrie

Ve stejném článku Dehn také zkonstruoval příklad nelegendriánské geometrie, kde je nekonečně mnoho přímek bodem, které se nesetkávají s jinou přímkou, ale součet úhlů v trojúhelníku přesahuje $π$ . Riemannovo eliptická geometrie přes Ω (t) se skládá z projektivní roviny nad Ω (t), kterou lze identifikovat afinní rovinou bodů (X:y: 1) spolu s „přímkou v nekonečnu“ a má tu vlastnost, že součet úhlů libovolného trojúhelníku je větší než $π$ Nelegendriánská geometrie se skládá z bodů (X:y: 1) tohoto afinního podprostoru takový, že tx a ty jsou konečné (kde jak je uvedeno výše t je prvek Ω (t) představovaný funkcí identity). Legendrova věta uvádí, že součet úhlů trojúhelníku je maximálně $π$ , ale předpokládá Archimédův axiom a Dehnov příklad ukazuje, že Legendrova věta nemusí platit, pokud je Archimédův axiom vynechán.

Reference

Dehn, Max (1900), „Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck“, Mathematische Annalen, 53 (3): 404–439, doi:10.1007 / BF01448980, ISSN 0025-5831, JFM 31.0471.01
Hilbert, David (1902), Základy geometrie (PDF), The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., PAN 0116216
Rucker, Rudy (1982), Nekonečno a mysl. Věda a filozofie nekonečna, Boston, Massachusetts: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3034-1, PAN 0658492

Tento článek obsahuje seznam souvisejících položek, které mají stejný název (nebo podobné názvy).
Pokud interní odkaz nesprávně vás sem přivedl, možná budete chtít změnit odkaz tak, aby odkazoval přímo na zamýšlený článek.