Primefree sekvence - Primefree sequence

v matematika, a sekvence primefree je sekvence z celá čísla který neobsahuje žádné prvočísla. Přesněji řečeno, obvykle to znamená posloupnost definovanou stejným relace opakování jako Fibonacciho čísla, ale s jinými počáteční podmínky způsobující, že jsou všichni členové sekvence složená čísla které nemají všechny společné dělitel. Algebraicky řečeno, posloupnost tohoto typu je definována vhodnou volbou dvou složených čísel A1 a A2, tak, že největší společný dělitel GCD (A1,A2) se rovná 1 a takové, že pro n > 2 nejsou v pořadí čísel vypočítaných ze vzorce žádná prvočísla

An = An − 1 + An − 2.

První primefree sekvence tohoto typu byla publikována Ronald Graham v roce 1964.

Wilfova sekvence

Bezvýznamná sekvence nalezená uživatelem Herbert Wilf má počáteční podmínky

A1 = 20615674205555510, A2 = 3794765361567513 (sekvence A083216 v OEIS ).

Důkaz, že každý člen této posloupnosti je složený, závisí na periodicitě číselných posloupností podobných Fibonacciho modulovaných členy konečné množiny prvočísel. Pro každý prime str, pozice v pořadí, kde jsou čísla dělitelná str opakujte v pravidelném vzoru a různá prvočísla v sadě mají překrývající se vzory, jejichž výsledkem je a krycí sada pro celou sekvenci.

Nenáročnost

Požadavek, aby počáteční členy primfree sekvence byly coprime, je nezbytný pro to, aby otázka nebyla triviální. Pokud dovolíme, aby počáteční podmínky sdílely hlavní faktor str (např. set A1 = xp a A2 = yp pro některé X a y oba větší než 1), kvůli distribuční vlastnictví z násobení A3 = (X + y)str a obecněji budou všechny následující hodnoty v sekvenci násobky str. V tomto případě budou všechna čísla v sekvenci složená, ale z triviálního důvodu.

Pořadí počátečních podmínek je také důležité. v Paul Hoffman biografie uživatele Paul Erdős, Muž, který miloval jen čísla, je citována Wilfova sekvence, ale se změněnými počátečními termíny. Výsledná sekvence se pro prvních sto termínů jeví jako prvočíslo, ale výraz 138 je 45místný prvočíslo 439351292910452432574786963588089477522344721.[1]

Další sekvence

Je známo několik dalších primefree sekvencí:

A1 = 331635635998274737472200656430763, A2 = 1510028911088401971189590305498785 (sekvence A083104 v OEIS; Graham 1964),
A1 = 62638280004239857, A2 = 49463435743205655 (sekvence A083105 v OEIS; Knuth 1990) a
A1 = 407389224418, A2 = 76343678551 (sekvence A082411 v OEIS; Nicol 1999).

Pořadí tohoto typu s nejmenšími známými počátečními pojmy má

A1 = 106276436867, A2 = 35256392432 (sekvence A221286 v OEIS; Vsemirnov 2004).

Poznámky

  1. ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A108156“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.

Reference

externí odkazy