Kovariance a korelace - Covariance and correlation

v teorie pravděpodobnosti a statistika, matematické pojmy kovariance a korelace jsou velmi podobné.^[1][2] Oba popisují míru, do jaké dva náhodné proměnné nebo sady náhodných proměnných mají tendenci se odchýlit od svých očekávané hodnoty podobným způsobem.

Li X a Y jsou dvě náhodné proměnné, s prostředek (očekávané hodnoty) μ_X a μ_Y a směrodatné odchylky σ_X a σ_Y, pak jejich kovariance a korelace jsou následující:

kovariance	${ displaystyle { text {cov}} _ {XY} = sigma _ {XY} = E [(X- mu _ {X}) , (Y- mu _ {Y})]}$
korelace	${ displaystyle { text {corr}} _ {XY} = rho _ {XY} = E [(X- mu _ {X}) , (Y- mu _ {Y})] / ( sigma _ {X} sigma _ {Y})}$,

aby

${ displaystyle rho _ {XY} = sigma _ {XY} / ( sigma _ {X} sigma _ {Y})}$

kde E je operátor očekávané hodnoty. Korelace je zejména bezrozměrný zatímco kovariance je v jednotkách získaných vynásobením jednotek dvou proměnných.

Li Y vždy nabývá stejných hodnot jako X, máme kovarianci proměnné sama se sebou (tj. ${ displaystyle sigma _ {XX}}$), který se nazývá rozptyl a je běžněji označována jako ${ displaystyle sigma _ {X} ^ {2},}$ náměstí standardní odchylka. The korelace proměnné, která je sama o sobě, je vždy 1 (kromě zvrhlý případ kde jsou dvě odchylky nulové, protože X vždy přebírá stejnou jedinou hodnotu, v takovém případě korelace neexistuje, protože její výpočet by zahrnoval dělení 0 ). Obecněji je korelace mezi dvěma proměnnými 1 (nebo –1), pokud jedna z nich vždy přebírá hodnotu, která je dána přesně lineární funkce druhého s pozitivním (nebo negativním) sklon.

Ačkoli jsou hodnoty teoretických kovariancí a korelací spojeny výše uvedeným způsobem, rozdělení pravděpodobnosti odhady vzorků těchto množství není nijak jednoduše spojeno a je obvykle nutné s nimi zacházet samostatně.

Více náhodných proměnných

S libovolným počtem náhodných proměnných přesahujícím 1 lze proměnné skládat do a náhodný vektor jehož i ^th prvek je i ^th náhodná proměnná. Potom lze odchylky a kovariance umístit do a kovarianční matice, ve kterém (já, j) prvek je kovariancí mezi i ^th náhodná proměnná a j ^th jeden. Podobně lze korelace umístit do a korelační matice.

Analýza časových řad

V případě a časové řady který je stacionární v širokém smyslu jsou prostředky i odchylky v průběhu času konstantní (E (X_{n + m}) = E (X_n) = μ_X a var (X_{n + m}) = var (X_n) a podobně pro proměnnou Y). V tomto případě je křížová kovariance a křížová korelace funkcí časového rozdílu:

křížová kovariance	${ displaystyle sigma _ {XY} (m) = E [(X_ {n} - mu _ {X}) , (Y_ {n + m} - mu _ {Y})],}$
vzájemná korelace	${ displaystyle rho _ {XY} (m) = E [(X_ {n} - mu _ {X}) , (Y_ {n + m} - mu _ {Y})] / / sigma _ {X} sigma _ {Y}).}$

Li Y je stejná proměnná jako X, výše uvedené výrazy se nazývají autovariance a autokorelace:

autovariance	${ displaystyle sigma _ {XX} (m) = E [(X_ {n} - mu _ {X}) , (X_ {n + m} - mu _ {X})],}$
autokorelace	${ displaystyle rho _ {XX} (m) = E [(X_ {n} - mu _ {X}) , (X_ {n + m} - mu _ {X})] / ( sigma _ {X} ^ {2}).}$

Reference

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Kovariance a korelace“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)