Řízená brána NOT - Controlled NOT gate

Klasickým analogem brány CNOT je a reverzibilní XOR brána.

Jak lze bránu CNOT používat (s Hadamardovy brány ) ve výpočtu.

v počítačová věda, řízená NOT brána (taky C-NE nebo CNOT) je kvantová logická brána to je základní součást konstrukce a na bázi brány kvantový počítač.^[1] Lze jej použít k zapletení a rozmotání Státy EPR. Libovolný kvantový obvod lze simulovat s libovolnou mírou přesnosti pomocí kombinace bran CNOT a jednoduchých qubit rotace.^[1]

Úkon

Brána CNOT pracuje na a kvantový registr skládající se ze 2 qubits. Brána CNOT převrátí druhý qubit (cílový qubit) právě tehdy, když je první qubit (kontrolní qubit) ${ displaystyle | 1 rangle}$ .

Před		Po
Řízení	cílová	Řízení	cílová
${ displaystyle \| 0 rangle}$	${ displaystyle \| 0 rangle}$	${ displaystyle \| 0 rangle}$	${ displaystyle \| 0 rangle}$
${ displaystyle \| 0 rangle}$	${ displaystyle \| 1 rangle}$	${ displaystyle \| 0 rangle}$	${ displaystyle \| 1 rangle}$
${ displaystyle \| 1 rangle}$	${ displaystyle \| 0 rangle}$	${ displaystyle \| 1 rangle}$	${ displaystyle \| 1 rangle}$
${ displaystyle \| 1 rangle}$	${ displaystyle \| 1 rangle}$	${ displaystyle \| 1 rangle}$	${ displaystyle \| 0 rangle}$

Li ${ displaystyle {| 0 rangle, | 1 rangle }}$ jsou jediné povolené vstupní hodnoty pro oba qubity, pak TARGET výstup brány CNOT odpovídá výsledku klasické XOR brána. Upevnění CONTROL as ${ displaystyle | 1 rangle}$ , výstup TARGET brány CNOT přináší výsledek klasiky NENÍ brána.

Obecněji lze říci, že vstupům může být lineární superpozice ${ displaystyle {| 0 rangle, | 1 rangle }}$ . Brána CNOT transformuje kvantový stav:

${ displaystyle a | 00 rangle + b | 01 rangle + c | 10 rangle + d | 11 rangle}$

do:

${ displaystyle a | 00 rangle + b | 01 rangle + c | 11 rangle + d | 10 rangle}$

Působení brány CNOT může být reprezentováno maticí (permutační matice formulář):

{ displaystyle operatorname {CNOT} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 end {bmatrix}}.}

První experimentální realizace brány CNOT byla provedena v roce 1995. Zde jediná Berýlium ion v a past byl použit. Dva qubity byly zakódovány do optického stavu a do vibračního stavu iontu v pasti. V době experimentu byla spolehlivost operace CNOT měřena řádově na 90%.^[2]

Kromě pravidelné kontrolované brány NOT by bylo možné sestavit bránu NOT řízenou funkcí, která přijímá libovolné číslo n+1 qubits jako vstup, kde n+1 je větší nebo rovno 2 (a kvantový registr ). Tato brána převrátí poslední qubit registru tehdy a jen tehdy, je-li vestavěná funkce, první n qubits jako vstup, vrátí 1. Funkčně řízená brána NOT je základním prvkem Algoritmus Deutsch – Jozsa.

Chování na Hadamardově transformovaném základě

Při pohledu pouze na výpočetní bázi ${ displaystyle {| 0 rangle, | 1 rangle }}$ , chování C._NE vypadá jako ekvivalent klasické brány. Jednoduchost označování jednoho qubit řízení a druhý cílová neodráží složitost toho, co se stane pro většinu vstupních hodnot obou qubits.

Brána CNOT v Hadamardově transformovaném základě.

Insight lze získat vyjádřením brány CNOT s ohledem na Hadamardovu transformovanou základnu ${ displaystyle {| + rangle, | - rangle }}$ . Hadamardův transformovaný základ^[A] jednoho qubitu Registrovat darováno

{ displaystyle | + rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0 rangle + | 1 rangle), qquad | - rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0 rangle - | 1 rangle),}

a odpovídající základ 2bitového registru je

{ displaystyle | ++ rangle = | + rangle | + rangle = { frac {1} {2}} (| 0 rangle + | 1 rangle) (| 0 rangle + | 1 rangle) = { frac {1} {2}} (| 00 rangle + | 01 rangle + | 10 rangle + | 11 rangle)}

,

atd. Při pohledu na CNOT na tomto základě zůstává stav druhého qubitu nezměněn a stav prvního qubitu je převrácen podle stavu druhého bitu. (Podrobnosti viz níže.) „Tudíž v tomto základě má smysl který bit je kontrolní bit a které cílový bit obrátil se. Ale transformaci jsme vůbec nezměnili, pouze způsob, jakým o ní přemýšlíme. “^[3]

„Výpočetní“ základ ${ displaystyle {| 0 rangle, | 1 rangle }}$ je vlastní základnou pro rotaci ve směru Z, zatímco Hadamardův základ ${ displaystyle {| + rangle, | - rangle }}$ je vlastní základna pro rotaci ve směru X. Přepínání mezi X a Z a qubits 1 a 2 pak obnoví původní transformaci. “^[4] To vyjadřuje základní symetrii brány CNOT.

Pozorování, že oba qubits jsou (stejně) ovlivněny v C_NE interakce je důležitá při zvažování toku informací v zapletených kvantových systémech.^[5]

Podrobnosti výpočtu

Nyní pokračujeme v podrobnostech výpočtu. Při práci v každém z hadamardských základních stavů se první qubit otočí ${ displaystyle | + rangle}$ a ${ displaystyle | - rangle}$ když je druhý qubit ${ displaystyle | - rangle}$ :

Počáteční stav na základě Hadamarda	Ekvivalentní stav ve výpočetní bázi	Použít operátor	Stav ve výpočetní bázi po C_NE	Rovnocenný stav na základě Hadamarda
${ displaystyle \| ++ rangle}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle + \| 01 rangle + \| 10 rangle + \| 11 rangle)}$	C_NE	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle + \| 01 rangle + \| 11 rangle + \| 10 rangle)}$	${ displaystyle \| ++ rangle}$
${ displaystyle \| + - rangle}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle - \| 01 rangle + \| 10 rangle - \| 11 rangle)}$	C_NE	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle - \| 01 rangle + \| 11 rangle - \| 10 rangle)}$	${ displaystyle \| - rangle}$
${ displaystyle \| - + rangle}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle + \| 01 rangle - \| 10 rangle - \| 11 rangle)}$	C_NE	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle + \| 01 rangle - \| 11 rangle - \| 10 rangle)}$	${ displaystyle \| - + rangle}$
${ displaystyle \| - rangle}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle - \| 01 rangle - \| 10 rangle + \| 11 rangle)}$	C_NE	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle - \| 01 rangle - \| 11 rangle + \| 10 rangle)}$	${ displaystyle \| + - rangle}$

Kvantový obvod, který provádí Hadamardovu transformaci následovanou C._NE pak lze popsat další Hadamardovu transformaci z hlediska operátorů matice:

$(H 1 \otimes H 1) -1 . C NE . (H 1 \otimes H 1)$

Jednokbitová Hadamardova transformace, H₁, je zápor ze své vlastní inverze. Tenzorový produkt dvou Hadamardových transformací pracujících (nezávisle) na dvou qubitech je označen H₂. Můžeme tedy psát matice jako:

$H 2 . C NE . H 2$

Když se vynásobí, získá se matice, která zamění ${ displaystyle | 01 rangle}$ a ${ displaystyle | 11 rangle}$ termíny skončily, zatímco opouštěly ${ displaystyle | 00 rangle}$ a ${ displaystyle | 10 rangle}$ samotné termíny. To je ekvivalent brány CNOT, kde qubit 2 je kontrolní qubit a qubit 1 je cílový qubit:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {1} {4}} & { begin {bmatrix} { begin {pole} {rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 end {array}} end {bmatrix}}. { Begin {bmatrix} { begin {array} {rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 end {pole} } end {bmatrix}}. { begin {bmatrix} { begin {array} {rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 end {pole} } end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { begin {array} {rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 end {pole}} end {bmatrix}} end {zarovnáno} }}$

Stavba Bell State ${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle}$

Běžná aplikace C._NE brána je maximálně zaplést dva qubits do ${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle}$ Stav Bell; toto je součástí nastavení superhusté kódování, kvantová teleportace a zamotaný kvantová kryptografie algoritmy.

Konstruovat ${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle}$ , vstupy A (ovládání) a B (cíl) do C_NE brány jsou:

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0 rangle + | 1 rangle) _ {A}}$ a ${ displaystyle | 0 rangle _ {B}}$

Po aplikaci C_NE, výsledný Bell State ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} (| 00 rangle + | 11 rangle)}$ má tu vlastnost, že jednotlivé qubity lze měřit na jakémkoli základě a každému státu bude vždy představovat 50/50 šanci na vyřešení. Jednotlivé qubity jsou ve skutečnosti v nedefinovaném stavu. Korelace mezi dvěma qubity je úplný popis stavu těchto dvou qubits; pokud oba zvolíme stejný základ pro měření obou qubitů a porovnání poznámek, měření budou dokonale korelovat.

Při pohledu na výpočetní bázi se zdá, že qubit A ovlivňuje qubit B. Změna našeho pohledu na Hadamardův základ ukazuje, že symetrickým způsobem qubit B ovlivňuje qubit A.

Stav vstupu lze střídavě zobrazit jako:

${ displaystyle | + rangle _ {A}}$ a ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} (| + rangle + | - rangle) _ {B}}$

V pohledu Hadamard se kontrolní a cílové qubity koncepčně vyměnily a qubit A je invertován, když je qubit B ${ displaystyle | - rangle _ {B}}$ . Stav výstupu po použití C_NE brána je ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} (| ++ rangle + | - rangle)}$ které lze zobrazit^[b] být přesně stejný stav jako ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} (| 00 rangle + | 11 rangle)}$ .

C-ROT brána

Brána C-ROT (řízená Rotace Rabi ) je ekvivalentní a C-NOT brána kromě a ${ displaystyle pi / 2}$ rotace jaderné rotace kolem osy z.^[6]^[7]

Poznámky

^ Všimněte si, že ${ displaystyle | + rangle}$ lze zkonstruovat použitím a Hadamardova brána na qubit nastaven na ${ displaystyle | 0 rangle}$ a podobně pro ${ displaystyle | - rangle}$
^ ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} (| ++ rangle + | - rangle)}$ ${ displaystyle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| + rangle _ {A} | + rangle _ {B} + | - rangle _ {A} | - rangle _ { B})}$ ${ displaystyle = { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} ((| 0 rangle _ {A} + | 1 rangle _ {A}) (| 0 rangle _ {B} + | 1 rangle _ {B}) + (| 0 rangle _ {A} - | 1 rangle _ {A}) (| 0 rangle _ {B} - | 1 rangle _ {B})) }$ ${ displaystyle = { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} ((| 00 rangle + | 01 rangle + | 10 rangle + | 11 rangle) + (| 00 rangle - | 01 rangle - | 10 rangle + | 11 rangle))}$ ${ displaystyle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| 00 rangle + | 11 rangle)}$

Reference

^ ^A ^b Nielsen, Michael A.; Chuang, Izák (2000). Kvantové výpočty a kvantové informace. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521632358. OCLC 43641333.
^ Monroe, C .; Meekhof, D .; King, B .; Itano, W .; Wineland, D. (1995). „Demonstrace základní kvantové logické brány“. Dopisy o fyzické kontrole. 75 (25): 4714–4717. Bibcode:1995PhRvL..75,4714M. doi:10.1103 / PhysRevLett.75.4714. PMID 10059979.
^ Eleanor G. Rieffel; Wolfgang H. Polak (4. března 2011). Kvantové výpočty: jemný úvod. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. str. 80. ISBN 978-0-262-01506-6. OCLC 742513505.
^ Gottesman, Daniel (1998). S. P. Corney; R. Delbourgo; P. D. Jarvis (eds.). „Heisenbergovo zastoupení kvantových počítačů“. Skupina: Sborník XXII. Mezinárodního kolokvia o skupinových teoretických metodách ve fyzice. Cambridge, MA: Mezinárodní tisk. 22 (1999): 32–43. arXiv:quant-ph / 9807006. Bibcode:1998quant.ph..7006G.
^ Deutsch, David; Hayden, Patrick (1999). "Informační tok v zapletených kvantových systémech". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 456 (1999): 1759–1774. arXiv:quant-ph / 9906007. Bibcode:2000RSPSA.456.1759H. doi:10.1098 / rspa.2000.0585.
^ Chen, Pochung; Piermarocchi, C .; Sham, L. J. (18. července 2001). "Řízení dynamiky excitace v nanodotech pro kvantové operace". Dopisy o fyzické kontrole. 87 (6): 067401. arXiv:cond-mat / 0102482. Bibcode:2001PhRvL..87f7401C. doi:10.1103 / PhysRevLett.87.067401.
^ Piermarocchi, C .; Chen, Pochung; Sham, L. J .; Steel, D. G. (30. září 2002). "Optická RKKY interakce mezi nabitými polovodičovými kvantovými tečkami". Dopisy o fyzické kontrole. 89 (16): 167402. arXiv:cond-mat / 0202331. Bibcode:2002PhRvL..89p7402P. doi:10.1103 / PhysRevLett.89.167402. PMID 12398754.

externí odkazy

Michael Westmoreland: „Izolace a tok informací v kvantové dynamice“ - diskuse kolem C._ne brána

[3] Všimněte si, že ${ displaystyle | + rangle}$ lze zkonstruovat použitím a Hadamardova brána na qubit nastaven na ${ displaystyle | 0 rangle}$ a podobně pro ${ displaystyle | - rangle}$

[7] ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} (| ++ rangle + | - rangle)}$ ${ displaystyle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| + rangle _ {A} | + rangle _ {B} + | - rangle _ {A} | - rangle _ { B})}$ ${ displaystyle = { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} ((| 0 rangle _ {A} + | 1 rangle _ {A}) (| 0 rangle _ {B} + | 1 rangle _ {B}) + (| 0 rangle _ {A} - | 1 rangle _ {A}) (| 0 rangle _ {B} - | 1 rangle _ {B})) }$ ${ displaystyle = { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} ((| 00 rangle + | 01 rangle + | 10 rangle + | 11 rangle) + (| 00 rangle - | 01 rangle - | 10 rangle + | 11 rangle))}$ ${ displaystyle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| 00 rangle + | 11 rangle)}$

[Nielsen-Chuang-1] A ^b Nielsen, Michael A.; Chuang, Izák (2000). Kvantové výpočty a kvantové informace. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521632358. OCLC 43641333.

[2] Monroe, C .; Meekhof, D .; King, B .; Itano, W .; Wineland, D. (1995). „Demonstrace základní kvantové logické brány“. Dopisy o fyzické kontrole. 75 (25): 4714–4717. Bibcode:1995PhRvL..75,4714M. doi:10.1103 / PhysRevLett.75.4714. PMID 10059979.

[RieffelPolak2011-4] Eleanor G. Rieffel; Wolfgang H. Polak (4. března 2011). Kvantové výpočty: jemný úvod. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. str. 80. ISBN 978-0-262-01506-6. OCLC 742513505.

[HeisenbergRepresentationGottesman-5] Gottesman, Daniel (1998). S. P. Corney; R. Delbourgo; P. D. Jarvis (eds.). „Heisenbergovo zastoupení kvantových počítačů“. Skupina: Sborník XXII. Mezinárodního kolokvia o skupinových teoretických metodách ve fyzice. Cambridge, MA: Mezinárodní tisk. 22 (1999): 32–43. arXiv:quant-ph / 9807006. Bibcode:1998quant.ph..7006G.

[InformationFlowDeutschHayden-6] Deutsch, David; Hayden, Patrick (1999). "Informační tok v zapletených kvantových systémech". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 456 (1999): 1759–1774. arXiv:quant-ph / 9906007. Bibcode:2000RSPSA.456.1759H. doi:10.1098 / rspa.2000.0585.

[8] Chen, Pochung; Piermarocchi, C .; Sham, L. J. (18. července 2001). "Řízení dynamiky excitace v nanodotech pro kvantové operace". Dopisy o fyzické kontrole. 87 (6): 067401. arXiv:cond-mat / 0102482. Bibcode:2001PhRvL..87f7401C. doi:10.1103 / PhysRevLett.87.067401.

[9] Piermarocchi, C .; Chen, Pochung; Sham, L. J .; Steel, D. G. (30. září 2002). "Optická RKKY interakce mezi nabitými polovodičovými kvantovými tečkami". Dopisy o fyzické kontrole. 89 (16): 167402. arXiv:cond-mat / 0202331. Bibcode:2002PhRvL..89p7402P. doi:10.1103 / PhysRevLett.89.167402. PMID 12398754.

[1]

[2]

[A]

[3]

[4]

[5]

[b]

[6]

[7]

Počáteční stav na základě Hadamarda	Ekvivalentní stav ve výpočetní bázi	Použít operátor	Stav ve výpočetní bázi po C_NE	Rovnocenný stav na základě Hadamarda
${ displaystyle \| ++ rangle}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle + \| 01 rangle + \| 10 rangle + \| 11 rangle)}$	C_NE	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle + \| 01 rangle + \| 11 rangle + \| 10 rangle)}$	${ displaystyle \| ++ rangle}$
${ displaystyle \| + - rangle}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle - \| 01 rangle + \| 10 rangle - \| 11 rangle)}$	C_NE	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle - \| 01 rangle + \| 11 rangle - \| 10 rangle)}$	${ displaystyle \| - rangle}$
${ displaystyle \| - + rangle}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle + \| 01 rangle - \| 10 rangle - \| 11 rangle)}$	C_NE	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle + \| 01 rangle - \| 11 rangle - \| 10 rangle)}$	${ displaystyle \| - + rangle}$
${ displaystyle \| - rangle}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle - \| 01 rangle - \| 10 rangle + \| 11 rangle)}$	C_NE	${ displaystyle { frac {1} {2}} (\| 00 rangle - \| 01 rangle - \| 11 rangle + \| 10 rangle)}$	${ displaystyle \| + - rangle}$