Shodnost-permutovatelná algebra - Congruence-permutable algebra

v univerzální algebra, a kongruence-permutovatelná algebra je algebra, jejíž shody dojíždět pod složení. Tato symetrie má několik ekvivalentních charakterizací, které umožňují analýzu takových algeber. Mnoho známých odrůdy algeber, jako je rozmanitost skupiny, se skládají z kongruence-permutovatelných algeber, ale některé, jako je rozmanitost mříže, mají členy, kteří nejsou permutovatelní.

Definice

Vzhledem k algebře ${ displaystyle mathbf {A}}$ , pár shody ${ displaystyle alpha, beta v operatorname {Con} ( mathbf {A})}$ jsou prý obměňovat když ${ displaystyle alpha circ beta = beta circ alpha}$ .^[1]^:121 Algebra ${ displaystyle mathbf {A}}$ je nazýván shoda-permutovatelná když každá dvojice kongruencí ${ displaystyle mathbf {A}}$ obměňovat.^[1]^:122 A odrůda algeber ${ displaystyle { mathcal {V}}}$ se označuje jako shoda-permutovatelná když každá algebra v ${ displaystyle { mathcal {V}}}$ je kongruence-permutovatelná.^[1]^:122

Vlastnosti

V roce 1954 Maltsev dal dvě další podmínky, které jsou ekvivalentní podmínce uvedené výše, definující kongruenčně permutovatelnou paletu algeber. To zahájilo studium kongruenčně permutovatelných odrůd.^[1]^:122

Věta (Maltsev, 1954)

Předpokládejme to ${ displaystyle { mathcal {V}}}$ je řada algeber. Následující jsou ekvivalentní:

Odrůda ${ displaystyle { mathcal {V}}}$ je kongruence-permutovatelná.
The bezplatná algebra na ${ displaystyle 3}$ generátory v ${ displaystyle { mathcal {V}}}$ je kongruence-permutovatelná.
Existuje ternární výraz ${ displaystyle q}$ takhle
${ displaystyle { mathcal {V}} modely q (x, y, y) přibližně x přibližně q (y, y, x)}$ .

Takový termín se nazývá a Maltsevův termín a odrůdy propustné pro kongruenci jsou také známé jako Maltsevské odrůdy na jeho počest.^[1]^:122

Příklady

Většina klasických odrůd v abstraktní algebra, jako skupiny^[1]^:123, prsteny^[1]^:123, a Lež algebry^{[Citace je zapotřebí ]} jsou kongruence-permutovatelné. Jakákoli odrůda, která obsahuje skupinovou operaci, je kongruence-permutovatelná a Maltcevův termín ano ${ displaystyle xy ^ {- 1} z}$ .^{[Citace je zapotřebí ]}

Žádné příklady

Z pohledu mřížky řetěz se třemi prvky není shoda-permutovatelná a tudíž ani rozmanitost svazů.^[1]^:123

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Bergman, Clifford (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. Chapman and Hall / CRC. ISBN 978-1-4398-5129-6.

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[Bergman-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Bergman, Clifford (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. Chapman and Hall / CRC. ISBN 978-1-4398-5129-6.

[1]