Kombinatorická geometrie v rovině - Combinatorial Geometry in the Plane

Kombinatorická geometrie v rovině je kniha v diskrétní geometrie. Byl přeložen z německé knihy, Kombinatorische Geometrie in der Ebene, kterou její autoři Hugo Hadwiger a Hans Debrunner publikovali na univerzitě v Ženevě v roce 1960, čímž rozšířili průzkumový dokument z roku 1955, který Hadwiger publikoval v L'Enseignement mathématique.^[1] Victor Klee přeložil do angličtiny a přidal kapitolu nového materiálu. To bylo publikováno v roce 1964 Holtem, Rinehartem a Winstonem,^[2] a znovu publikovány v roce 1966 Dover Publications.^[3] Vydání v ruštině, Комбинаторная геометрия плоскости, přeložil I. M. Jaglom a zahrnul shrnutí nového materiálu Klee, publikoval Nauka v roce 1965.^[4] Výbor pro základní seznam knihoven Mathematical Association of America doporučil jeho zařazení do vysokoškolských knihoven matematiky.^[3]

Témata

První polovina knihy obsahuje výroky téměř 100 návrhů v diskrétní geometrii Euklidovské letadlo a druhá polovina načrtne jejich důkazy. Přidaná kapitola Klee, ležící mezi oběma polovinami, poskytuje dalších 10 návrhů, včetně některých zevšeobecnění do vyšších dimenzí, a kniha končí podrobnou bibliografií jejích témat.^[5]

Výsledky v diskrétní geometrii obsažené v této knize zahrnují:

• Carathéodoryova věta že každý bod v konvexní obal rovinné množiny patří trojúhelníku určenému třemi body množiny a Steinitzova věta, že každý vnitřní bod konvexního trupu je vnitřkem konvexního trupu čtyř bodů množiny.^[3]
• The Erdős – Anningova věta, že má-li nekonečná množina bodů v rovině celočíselnou vzdálenost mezi dvěma body, musí všechny dané body ležet na jedné přímce.^[3]
• Hellyho věta, že pokud rodina kompaktní konvexní sady má neprázdnou křižovatku pro každou trojici sad, potom má celá rodina neprázdnou křižovatku.^[3]
• Hellyova vlastnost viditelnosti související s věta o umělecké galerii: pokud každé tři body a polygon jsou viditelné z nějakého společného bodu v polygonu, pak existuje bod, ze kterého je viditelný celý polygon. V tomto případě musí být mnohoúhelník a hvězdicovitý mnohoúhelník.^[1]
• Nemožnost zakrýt uzavřený rovnoběžník třemi přeloženými kopiemi jejího interiéru a skutečností, že takto lze zakrýt každou další kompaktní konvexní sadu.^[1]
• Jungova věta, že (pro množiny v rovině) poloměr nejmenší obklopující kruh je nanejvýš ${ displaystyle 1 / { sqrt {3}}}$ násobek průměru. Tato vazba je těsná pro rovnostranný trojúhelník.^[3]
• Paradoxy rozkladu množin na menší množiny související s Banach – Tarski paradox.^[1]
• Radonova věta že každé čtyři body v rovině lze rozdělit do dvou podmnožin s protínajícími se konvexními trupy.^[3]
• Spernerovo lemma na barvení triangulací.^[1]
• The Věta Sylvester – Gallai, v podobě, že pokud konečná množina bodů v rovině má vlastnost, že každá přímka procházející dvěma body obsahuje třetí bod ze sady, pak dané body musí ležet na jedné přímce.^[3]
• Tarskiho problém s prkny ve formě, že kdykoli dva nekonečné proužky společně pokrývají kompaktní konvexní sadu, jejich celková šířka je alespoň stejně velká jako šířka nejužšího pásu, který sadu sám pokrývá.^[1][3]
• Kdykoli je čára pokryta dvěma uzavřenými podmnožinami, pak alespoň jedna ze dvou podmnožin má dvojice bodů na všech možných vzdálenostech.^[1]

Zahrnuje také některá témata, která patří ke kombinatorice, ale nejsou ve své podstatě geometrická,^[1] počítaje v to:

• Hallova věta o manželství charakterizující bipartitní grafy které mají perfektní shoda.^[3]
• Ramseyova věta že pokud ${ displaystyle k}$-tuple bodů z nekonečné množiny bodů je přiřazeno konečně mnoho barev, pak má nekonečná podmnožina ${ displaystyle k}$-tuple pouze jedné barvy.^[3]

Publikum a příjem

Kniha je napsána na úrovni vhodné pro vysokoškolské studenty matematiky a předpokládá základní znalosti jazyka skutečná analýza a geometrie na vysokoškolské úrovni.^[6] Jedním z cílů knihy je vystavit studenty na této úrovni problémům matematiky na úrovni výzkumu, jejichž výroky jsou snadno dostupné.^[2]

Reference