Tarskisův problém s prkny - Tarskis plank problem - Wikipedia

v matematika, Tarskiho problém s prkny je otázka zakrytí konvexních oblastí v n-dimenzionální euklidovský prostor podle "prken": oblasti mezi dvěma hyperplany. Tarski dotázán, zda součet šířek prken musí být alespoň minimální šířka konvexní oblasti. Na otázku kladně odpověděl Thøger Bang (1950, 1951 ).^[1]

Prohlášení

Vzhledem k konvexní tělo C v Rⁿ a hyperplán H, šířka C paralela k H, w(C,H), je vzdálenost mezi nimi podpůrné hyperplány z C které jsou paralelní s H. Nejmenší taková vzdálenost (tj infimum přes všechny možné hyperplány) se nazývá minimální šířka C, w(C).

(Uzavřená) sada bodů P mezi dvěma odlišnými, paralelními hyperplany v Rⁿ se nazývá prkno a vzdálenost mezi dvěma hyperplany se nazývá šířka prkna, w(P). Tarski se domníval, že pokud je to konvexní tělo C minimální šířky w(C) byla pokryta sbírkou prken, pak musí být součet šířek těchto prken alespoň w(C). To je, pokud P₁,…,P_m jsou prkna taková

${ displaystyle C subseteq P_ {1} cup ldots cup P_ {m} subset mathbb {R} ^ {n},}$

pak

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {m} w (P_ {i}) geq w (C).}$

Bang dokázal, že tomu tak skutečně je.

Nomenklatura

Název problému, konkrétně pro množiny bodů mezi paralelními hyperplany, pochází z vizualizace problému v R². Zde jsou hyperplány jen přímky, a tak se prkna stávají prostorem mezi dvěma rovnoběžkami. Takto lze desky považovat za (nekonečně dlouhé) prkna ze dřeva a stává se otázkou, kolik prken člověk potřebuje k úplnému pokrytí a konvexní deska s minimální šířkou w? Bangova věta ukazuje, že například oběžník stůl z průměr d nohy nemohou být pokryty méně než d prkna ze dřeva o šířce jedné stopy.

Reference

• Bang, Thøger (1950), „O zakrytí paralelními pruhy.“, Rohož. Tidsskr. B.: 49–53, PAN  0038085
• Bang, Thøger (1951), „Řešení“ prkenného problému"", Proc. Amer. Matematika. Soc., 2 (6): 990–993, doi:10.2307/2031721, JSTOR  2031721, PAN  0046672