Tarskisův problém s prkny - Tarskis plank problem - Wikipedia

v matematika, Tarskiho problém s prkny je otázka zakrytí konvexních oblastí v n-dimenzionální euklidovský prostor podle "prken": oblasti mezi dvěma hyperplany. Tarski dotázán, zda součet šířek prken musí být alespoň minimální šířka konvexní oblasti. Na otázku kladně odpověděl Thøger Bang (1950, 1951 ).[1]

Prohlášení

Tarski plank problem.svg

Vzhledem k konvexní tělo C v Rn a hyperplán H, šířka C paralela k H, w(C,H), je vzdálenost mezi nimi podpůrné hyperplány z C které jsou paralelní s H. Nejmenší taková vzdálenost (tj infimum přes všechny možné hyperplány) se nazývá minimální šířka C, w(C).

(Uzavřená) sada bodů P mezi dvěma odlišnými, paralelními hyperplany v Rn se nazývá prkno a vzdálenost mezi dvěma hyperplany se nazývá šířka prkna, w(P). Tarski se domníval, že pokud je to konvexní tělo C minimální šířky w(C) byla pokryta sbírkou prken, pak musí být součet šířek těchto prken alespoň w(C). To je, pokud P1,…,Pm jsou prkna taková

pak

Bang dokázal, že tomu tak skutečně je.

Nomenklatura

Název problému, konkrétně pro množiny bodů mezi paralelními hyperplany, pochází z vizualizace problému v R2. Zde jsou hyperplány jen přímky, a tak se prkna stávají prostorem mezi dvěma rovnoběžkami. Takto lze desky považovat za (nekonečně dlouhé) prkna ze dřeva a stává se otázkou, kolik prken člověk potřebuje k úplnému pokrytí a konvexní deska s minimální šířkou w? Bangova věta ukazuje, že například oběžník stůl z průměr d nohy nemohou být pokryty méně než d prkna ze dřeva o šířce jedné stopy.

Reference

  1. ^ King, Jonathan L. (1994). „Tři problémy při hledání opatření“. Amer. Matematika. Měsíční. 101: 609–628. doi:10.2307/2974690.