Cassini a katalánská identita - Cassini and Catalan identities
Cassiniho identita (někdy nazývané Simsonova identita) a Katalánská identita jsou matematické identity pro Fibonacciho čísla. Cassiniho identita, speciální případ Katalánská identita, uvádí, že pro nth Fibonacciho číslo,
Katalánská identita to zobecňuje:
Vajdova identita to zobecňuje:
Dějiny
Cassiniho vzorec objevil v roce 1680 Giovanni Domenico Cassini, poté ředitel pařížské observatoře, a nezávisle prokázáno Robert Simson (1753).[1] nicméně Johannes Kepler pravděpodobně znal identitu již v roce 1608.[2] Eugène Charles Catalan našel identitu pojmenovanou po něm v roce 1879.[1] Britský matematik Steven Vajda (1901–1995) vydal knihu o Fibonacciho číslech (Fibonacci a Lucas Numbers a Zlatá sekce: Teorie a aplikace, 1989), která obsahuje identitu nesoucí jeho jméno.[3][4] Identita však byla již publikována v roce 1960 Dustanem Evermanem jako problém 1396 v Americký matematický měsíčník.[1]
Důkaz maticovou teorií
Může být poskytnut rychlý důkaz o totožnosti Cassini (Knuth 1997, str. 81) rozpoznáním levá strana rovnice jako určující 2 × 2 matice Fibonacciho čísel. Výsledek je téměř okamžitý, když je matice považována za nth síla matice s determinantem −1:
Poznámky
- ^ A b C Thomas Koshy: Fibonacci a Lucas čísla s aplikacemi. Wiley, 2001, ISBN 9781118031315, str. 74-75, 83, 88
- ^ Miodrag Petkovic: Slavné hádanky velkých matematiků. AMS, 2009, ISBN 9780821848142, S. 30-31
- ^ Douglas B.West: Kombinatorická matematika. Cambridge University Press, 2020, str. 61
- ^ Steven Vadja: Fibonacci a Lucas Numbers a Zlatá sekce: Teorie a aplikace. Dover, 2008, ISBN 978-0486462769, str. 28 (původní publikace 1989, Ellis Horwood)
Reference
- Knuth, Donald Ervin (1997), The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Umění počítačového programování, 1 (3. vydání), Reading, Mass: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4
- Simson, R. (1753). „Vysvětlení temné pasáže v komentáři Alberta Girarda k dílům Simona Stevina“. Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. 48 (0): 368–376. doi:10.1098 / rstl.1753.0056.
- Werman, M .; Zeilberger, D. (1986). „Bijektivní důkaz Cassiniho Fibonacciho identity“. Diskrétní matematika. 58 (1): 109. doi:10.1016 / 0012-365X (86) 90194-9. PAN 0820846.