Cantorova věta o průniku - Cantors intersection theorem - Wikipedia

Cantorova věta o křižovatce odkazuje na dvě úzce související věty v obecná topologie a skutečná analýza, pojmenoval podle Georg Cantor, o křižovatkách klesajících vnořených sekvence neprázdných kompaktních sad.

Topologické prohlášení

Teorém. Nechť S je a topologický prostor. Klesající vnořená sekvence neprázdných kompaktních uzavřených podmnožin S má neprázdnou křižovatku. Jinými slovy, předpokládejme ${ displaystyle (C_ {k})}$ je posloupnost neprázdných kompaktních uzavřených podmnožin S uspokojujících

${ displaystyle C_ {0} supset C_ {1} supset cdots supset C_ {n} supset C_ {n + 1} supset cdots,}$

z toho vyplývá, že

${ displaystyle left ( bigcap _ {k} C_ {k} right) neq emptyset.}$

Podmínka uzavřenosti může být vynechána v situacích, kdy každá kompaktní podmnožina S je zavřený, například když S je Hausdorff.

Důkaz. Předpokládejme, že to bude v rozporu ${ displaystyle bigcap C_ {k} = emptyset}$. Pro každého k, nechť ${ displaystyle U_ {k} = C_ {0} setminus C_ {k}}$. Od té doby ${ displaystyle bigcup U_ {k} = C_ {0} setminus left ( bigcap C_ {k} right)}$ a ${ displaystyle bigcap C_ {k} = emptyset}$, my máme ${ displaystyle bigcup U_ {k} = C_ {0}}$. Protože ${ displaystyle C_ {k}}$ jsou uzavřeny vzhledem k S a proto také uzavřený ve vztahu k ${ displaystyle C_ {0}}$, ${ displaystyle U_ {k}}$, jejich sada se doplňuje v ${ displaystyle C_ {0}}$, jsou otevřené ve vztahu k ${ displaystyle C_ {0}}$.

Od té doby ${ displaystyle C_ {0} podmnožina S}$ je kompaktní a ${ displaystyle (U_ {k})}$ je otevřený kryt (na ${ displaystyle C_ {0}}$) z ${ displaystyle C_ {0}}$, konečný kryt ${ displaystyle {U_ {k_ {1}}, U_ {k_ {2}}, ldots, U_ {k_ {m}} }}$ lze extrahovat. Nechat ${ displaystyle M = max _ {1 leq i leq m} {k_ {i}}}$. Pak ${ displaystyle bigcup U_ {k_ {i}} = U_ {M}}$ protože ${ displaystyle U_ {1} podmnožina U_ {2} podmnožina cdots podmnožina U_ {n} podmnožina U_ {n + 1} cdots}$hypotézou o seskupení ${ displaystyle (C_ {k}).}$ Tudíž, ${ displaystyle C_ {0} = bigcup U_ {k_ {i}} = U_ {M}}$. Ale pak ${ displaystyle C_ {M} = C_ {0} setminus U_ {M} = emptyset}$rozpor. ∎

Výpis za reálná čísla

Věta v reálné analýze přináší stejný závěr pro Zavřeno a ohraničený podmnožiny sady reálná čísla ${ displaystyle mathbf {R}}$. Uvádí, že klesající vnořená sekvence ${ displaystyle (C_ {k})}$ neprázdných, uzavřených a ohraničených podmnožin ${ displaystyle mathbf {R}}$ má neprázdnou křižovatku.

Tato verze vyplývá z obecného topologického prohlášení ve světle Heine – Borelova věta, který uvádí, že množiny reálných čísel jsou kompaktní právě tehdy, když jsou uzavřené a ohraničené. Obvykle se však používá jako lemma při dokazování uvedené věty, a proto vyžaduje samostatný důkaz.

Jako příklad, pokud ${ displaystyle C_ {k} = [0,1 / k]}$, křižovatka skončila ${ displaystyle (C_ {k})}$ je${ displaystyle {0 }}$. Na druhou stranu obě posloupnosti otevřených ohraničených množin ${ displaystyle C_ {k} = (0,1 / k)}$ a posloupnost neomezených uzavřených množin ${ displaystyle C_ {k} = [k, infty)}$ mít prázdnou křižovatku. Všechny tyto sekvence jsou správně vnořeny.

Tato verze věty se zobecňuje na ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$, soubor n-prvkové vektory reálných čísel, ale nezobecňuje se na libovolné metrické prostory. Například v prostoru racionální čísla, sady

${ displaystyle C_ {k} = [{ sqrt {2}}, { sqrt {2}} + 1 / k] = ({ sqrt {2}}, { sqrt {2}} + 1 / k )}$

jsou uzavřené a ohraničené, ale jejich průsečík je prázdný.

Všimněte si, že to není v rozporu ani s topologickým tvrzením, jako jsou množiny ${ displaystyle C_ {k}}$ nejsou kompaktní ani níže uvedená varianta, protože racionální čísla nejsou úplná s ohledem na obvyklou metriku.

Jednoduchým důsledkem věty je, že Cantor set je neprázdné, protože je definováno jako průsečík klesající vnořené sekvence množin, z nichž každá je definována jako spojení konečného počtu uzavřených intervalů; proto je každá z těchto sad neprázdná, uzavřená a ohraničená. Sada Cantor ve skutečnosti obsahuje nespočetně mnoho bodů.

Teorém. Nechat ${ displaystyle (C_ {k})}$ být rodinou neprázdných, uzavřených a ohraničených podmnožin ${ displaystyle mathbf {R}}$ uspokojující

${ displaystyle C_ {0} supset C_ {1} supset cdots C_ {n} supset C_ {n + 1} cdots.}$

Pak,

${ displaystyle left ( bigcap _ {k} C_ {k} right) neq emptyset.}$

Důkaz. Každá neprázdná, uzavřená a ohraničená podmnožina ${ displaystyle C_ {k} podmnožina mathbf {R}}$ připouští minimální prvek ${ displaystyle x_ {k}}$. Protože pro každého k, my máme

${ displaystyle x_ {k + 1} v C_ {k + 1} subseteq C_ {k}}$,

z toho vyplývá, že

${ displaystyle x_ {k} leq x_ {k + 1}}$,

tak ${ displaystyle (x_ {k})}$ je rostoucí sekvence obsažená v ohraničené množině ${ displaystyle C_ {0}}$. The monotónní věta o konvergenci pro ohraničené posloupnosti reálných čísel nyní zaručuje existenci mezního bodu

${ displaystyle x = lim _ {k to infty} x_ {k}.}$

Pro pevné k, ${ displaystyle x_ {j} v C_ {k}}$ pro všechny ${ displaystyle j geq k}$ a od té doby ${ displaystyle C_ {k}}$ byl uzavřen a X je mezní bod, z toho vyplývá, že ${ displaystyle x v C_ {k}}$. Náš výběr k byl tedy libovolný X patří ${ displaystyle bigcap _ {k} C_ {k}}$ a důkaz je kompletní. ∎

Varianta v úplných metrických prostorech

V kompletní metrický prostor, platí následující varianta Cantorovy věty o křižovatce.

Teorém. Předpokládejme, že X je úplný metrický prostor, a ${ displaystyle C_ {k}}$ je sekvence neprázdných uzavřených vnořených podmnožin X, jejichž průměry inklinovat k nule:

${ displaystyle lim _ {k to infty} operatorname {diam} (C_ {k}) = 0,}$

kde ${ displaystyle operatorname {diam} (C_ {k})}$ je definováno

${ displaystyle operatorname {diam} (C_ {k}) = sup {d (x, y) | x, y v C_ {k} }.}$

Pak křižovatka ${ displaystyle C_ {k}}$ obsahuje přesně jeden bod:

${ displaystyle bigcap _ {k = 1} ^ { infty} C_ {k} = {x }}$

pro některé x v X.

Důkaz (skica). Důkaz je následující. Protože průměry mají tendenci k nule, průměr průsečíku ${ displaystyle C_ {k}}$ je nula, takže je buď prázdná, nebo se skládá z jediného bodu. Stačí tedy ukázat, že není prázdný. Vyberte prvek ${ displaystyle x_ {k} v C_ {k}}$ pro každého k. Od průměru ${ displaystyle C_ {k}}$ má tendenci k nule a ${ displaystyle C_ {k}}$ jsou vnořeny, ${ displaystyle x_ {k}}$ tvoří Cauchyovu sekvenci. Jelikož je metrický prostor kompletní, tato Cauchyova posloupnost konverguje do určitého bodu X. Protože každý ${ displaystyle C_ {k}}$ je uzavřen a X je limit sekvence v ${ displaystyle C_ {k}}$, X musí ležet ${ displaystyle C_ {k}}$. To platí pro všechny k, a tedy průsečík ${ displaystyle C_ {k}}$ musí obsahovat X. ∎

Rovněž platí obrácení k této větě: if X je metrický prostor s vlastností, že průnik libovolné vnořené rodiny neprázdných uzavřených podmnožin, jejichž průměry mají sklon k nule, je neprázdný, pak X je úplný metrický prostor. (Abychom to dokázali, dovolte ${ displaystyle (x_ {k})}$ být Cauchyovou sekvencí v Xa nechte ${ displaystyle C_ {k}}$ být uzavřením ocasu této sekvence.)

Reference

• Weisstein, Eric W. „Cantorova křižovatková věta“. MathWorld.
• Jonathan Lewin. Interaktivní úvod do matematické analýzy. Cambridge University Press. ISBN  0-521-01718-1. Oddíl 7.8.