Bohrovo zhutnění - Bohr compactification

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Bohrovo zhutnění a topologická skupina G je kompaktní Hausdorff topologická skupina H to může být kanonicky spojené s G. Jeho význam spočívá ve snížení teorie rovnoměrně téměř periodické funkce na G k teorii spojité funkce na H. Pojem je pojmenován po Harald Bohr kdo propagoval studium téměř periodické funkce, na skutečná linie.

Definice a základní vlastnosti

Vzhledem k tomu, topologická skupina G, Bohrovo zhutnění z G je kompaktní Hausdorff topologická skupina Bohr(G) a kontinuální homomorfismus

b: G → Bohr(G)

který je univerzální s ohledem na homomorfismy do kompaktních Hausdorffových skupin; to znamená, že pokud K. je další kompaktní Hausdorffova topologická skupina a

F: G → K.

je spojitý homomorfismus, pak existuje jedinečný spojitý homomorfismus

Bohr(F): Bohr(G) → K.

takhle F = Bohr(F) ∘ b.

Teorém. Existuje Bohrovo zhuštění^{[Citace je zapotřebí ]} a je jedinečný až do izomorfismu.

Budeme označovat Bohrovo zhutnění G podle Bohr(G) a kanonickou mapu podle

${ displaystyle mathbf {b}: G rightarrow mathbf {Bohr} (G).}$

Korespondence G ↦ Bohr(G) definuje kovariantní funktor na kategorii topologických skupin a spojitých homomorfismů.

Bohrovo zhutnění je úzce spjato s konečným rozměrem jednotkové zastoupení teorie topologické skupiny. The jádro z b se skládá přesně z těchto prvků G které nelze oddělit od identity G konečně-dimenzionální unitární reprezentace.

Bohrovo zhutnění také snižuje mnoho problémů v teorii téměř periodické funkce na topologických skupinách k funkcím na kompaktních skupinách.

Omezená spojitá funkce s komplexní hodnotou F na topologické skupině G je rovnoměrně téměř periodicky právě tehdy, když se množina práv překládá _GF kde

${ displaystyle [{} _ {g} f] (x) = f (g ^ {- 1} cdot x)}$

je relativně kompaktní v jednotné topologii jako G se mění G.

Teorém. Omezená spojitá funkce s komplexní hodnotou F na G je rovnoměrně téměř periodické právě tehdy, když existuje spojitá funkce F₁ na Bohr(G) (který je jednoznačně určen) takový, že

${ displaystyle f = f_ {1} circ mathbf {b}.}$

Maximálně téměř periodické skupiny

Nazývají se topologické skupiny, pro které je Bohrovo komprimační mapování injektivní maximálně téměř periodické (nebo skupiny MAP). V případě G je lokálně kompaktní propojená skupina, skupiny MAP jsou zcela charakteristické: Jsou to přesně produkty kompaktních skupin s vektorovými skupinami konečné dimenze.

Viz také

• Kompaktní prostor - Topologické představy o tom, že všechny body jsou „blízké“
• Zhutnění (matematika) - Vložení topologického prostoru do kompaktního prostoru jako husté podmnožiny
• Špičatá sada
• Zhutnění Stone – Čech
• Wallmanovo zhutnění

Reference

• „Bohrovo zhutnění“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]