Věta Bernstein – Kushnirenko - Bernstein–Kushnirenko theorem

The Věta Bernstein – Kushnirenko nebo Věta Bernstein – Khovanskii – Kushnirenko (BKK) ^[1]), prokázáno David Bernstein^[2] a Anatoli Kushnirenko [ru ]^[3] v roce 1975, je teorém v algebra. Uvádí, že počet nenulových komplexních řešení systému Laurentův polynom rovnice ${ displaystyle f_ {1} = cdots = f_ {n} = 0}$ se rovná smíšený objem z Newtonské polytopy polynomů ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {n}}$, za předpokladu, že všechny nenulové koeficienty ${ displaystyle f_ {n}}$ jsou obecné. Přesnější prohlášení je následující:

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle A}$ být konečnou podmnožinou ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {n}.}$ Zvažte podprostor ${ displaystyle L_ {A}}$ Laurentovy polynomiální algebry ${ displaystyle mathbb {C} vlevo [x_ {1} ^ { pm 1}, ldots, x_ {n} ^ { pm 1} vpravo]}$ skládající se z Laurentovy polynomy jejichž exponenty jsou v ${ displaystyle A}$. To je:

${ displaystyle L_ {A} = left {f , left | , f (x) = sum _ { alpha in A} c _ { alpha} x ^ { alpha}, c _ { alpha} in mathbb {C} right }, right.}$

kde pro každého ${ displaystyle alpha = (a_ {1}, ldots, a_ {n}) in mathbb {Z} ^ {n}}$ použili jsme zkratkovou notaci ${ displaystyle x ^ { alpha}}$ k označení monomia ${ displaystyle x_ {1} ^ {a_ {1}} cdots x_ {n} ^ {a_ {n}}.}$

Nyní vezměte ${ displaystyle n}$ konečné podmnožiny ${ displaystyle A_ {1}, ldots, A_ {n}}$ s odpovídajícími podprostory Laurentových polynomů ${ displaystyle L_ {A_ {1}}, ldots, L_ {A_ {n}}.}$ Zvažte obecný systém rovnic z těchto podprostorů, tj .:

${ displaystyle f_ {1} (x) = cdots = f_ {n} (x) = 0,}$

kde každý ${ displaystyle f_ {i}}$ je obecný prvek v (konečný rozměrný vektorový prostor) ${ displaystyle L_ {A_ {i}}.}$

Věta Bernstein – Kushnirenko uvádí, že počet řešení ${ displaystyle x in ( mathbb {C} setminus 0) ^ {n}}$ takového systému se rovná

${ displaystyle V ( Delta _ {1}, ldots, Delta _ {n}),}$

kde ${ displaystyle V}$ označuje Minkowski smíšený objem a pro každého ${ displaystyle i, Delta _ {i}}$ je konvexní obal konečné množiny bodů ${ displaystyle A_ {i}}$. Jasně ${ displaystyle Delta _ {i}}$ je konvexní příhradový polytop. Lze jej interpretovat jako Newtonův mnohostěn obecného prvku podprostoru ${ displaystyle L_ {A_ {i}}}$.

Zejména pokud jsou všechny sady ${ displaystyle A_ {i}}$ jsou stejní ${ displaystyle A = A_ {1} = cdots = A_ {n},}$ pak počet řešení generického systému Laurentových polynomů z ${ displaystyle L_ {A}}$ je rovný

${ displaystyle n! operatorname {vol} ( Delta),}$

kde ${ displaystyle Delta}$ je konvexní trup ${ displaystyle A}$ a vol je obvyklé ${ displaystyle n}$-dimenzionální euklidovský objem. Všimněte si, že i když objem mřížového mnohostěnu nemusí být nutně celé číslo, po vynásobení číslem se stane celým číslem ${ displaystyle n!}$.

Maličkosti

Jméno Kushnirenko se také píše Kouchnirenko. David Bernstein je bratr Joseph Bernstein. Askold Khovanskii našel asi 15 různých důkazů této věty.^[4]

Reference