Problém s opaskem - Belt problem

Problém s pásem

The problém s pásem je matematika problém, který vyžaduje zjištění délky zkříženého pás který spojuje dva kruhové kladky s poloměr r₁ a r₂ jejichž středy jsou odděleny vzdáleností P. Řešení problému s pásem vyžaduje trigonometrie a pojmy bitangentní čára, svislý úhel, a shodné úhly.

Řešení

Jasně trojúhelníky ACO a ADO jsou shodný pravoúhlé trojúhelníky, jako jsou trojúhelníky BEO a BFO. Navíc, trojúhelníky ACO a BEO jsou podobný. Proto úhly CAO, DAO, EBO a FBO jsou si všichni rovni. Označujeme to úhel podle ${displaystyle varphi}$ (denominováno v radiány ), je délka pásu

${displaystyle CO + DO + EO + FO + {ext {arc}} CD + {ext {arc}} EF ,!}$

${displaystyle = 2r_ {1} an (varphi) + 2r_ {2} an (varphi) + (2pi -2varphi) r_ {1} + (2pi -2varphi) r_ {2} ,!}$

${displaystyle = 2 (r_ {1} + r_ {2}) (an (varphi) + pi -varphi) ,!}$

Toto využívá výhodnosti denominace úhlů v radiánech, které jsou stejné jako délka oblouk = poloměr × míra úhel čelem k oblouk.

Najít ${displaystyle varphi}$ vidíme z podobnost z trojúhelníky ACO a BEO

${displaystyle {frac {AO} {BO}} = {frac {AC} {BE}} ,!}$

${displaystyle Rightarrow {frac {P-x} {x}} = {frac {r_ {1}} {r_ {2}}} ,!}$

${displaystyle Rightarrow {frac {P} {x}} = {frac {r_ {1} + r_ {2}} {r_ {2}}} ,!}$

${displaystyle Rightarrow {x} = {frac {Pr_ {2}} {r_ {1} + r_ {2}}} ,!}$

${displaystyle cos (varphi) = {frac {r_ {2}} {x}} = {frac {r_ {2}} {left ({dfrac {Pr_ {2}} {r_ {1} + r_ {2}} } ight)}} = {frac {r_ {1} + r_ {2}} {P}} ,!}$

${displaystyle Rightarrow varphi = cos ^ {- 1} vlevo ({frac {r_ {1} + r_ {2}} {P}} vpravo) ,!}$

Pro pevné P délka pásu závisí pouze na součtu hodnot poloměru r₁ + r₂, a nikoli na jejich individuálních hodnotách.

Problém s řemenicí

Problém s kladkou

Podobně jako problém s pásem existují i ​​jiné typy problémů. The kladka problém, jak je znázorněno, je podobný problému s pásem; nicméně pás nepřekračuje se. U problému s řemenicí je délka pásu

${displaystyle 2Psin left ({frac {heta} {2}} ight) + r_ {1} (2pi - heta) + r_ {2} {heta} ,,}$

kde r₁ představuje poloměr větší řemenice, r₂ představuje poloměr menšího a:

${displaystyle heta = 2cos ^ {- 1} vlevo ({frac {r_ {1} -r_ {2}} {P}} vpravo),}}$

Aplikace

Problém s pásem je použit ^[1] v designu letadla, ozubení kola, auta a další položky s kladky nebo pásy které se kříží navzájem. Problém s řemenicí se také používá při konstrukci dopravní pásy nalezen v letiště zavazadlo pásy a Automatizovaný továrna řádky.^[2]

Viz také

• Tečné čáry ke kruhům

Reference