Baileyův pár - Bailey pair - Wikipedia

V matematice, a Baileyův pár je dvojice sekvencí splňujících určité vztahy a a Baileyho řetězec je sekvence Baileyových párů. Baileyovy páry byly představeny W. N. Bailey  (1947, 1948 ) při studiu druhého důkazu Rogers (1917) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFRogers1917 (Pomoc) z Rogers – Ramanujan identity a Baileyovy řetězce byly zavedeny Andrews (1984).

Definice

The q-Pochhammerovy symboly ${ displaystyle (a; q) _ {n}}$ jsou definovány jako:

${ displaystyle (a; q) _ {n} = prod _ {0 leq j$

Dvojice sekvencí (α_n, β_n) se nazývá Baileyův pár, pokud jsou příbuzní

${ displaystyle beta _ {n} = součet _ {r = 0} ^ {n} { frac { alpha _ {r}} {(q; q) _ {nr} (aq; q) _ { n + r}}}}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle alpha _ {n} = (1-aq ^ {2n}) sum _ {j = 0} ^ {n} { frac {(aq; q) _ {n + j-1} (- 1) ^ {nj} q ^ {nj zvolte 2} beta _ {j}} {(q; q) _ {nj}}}.}$

Baileyho lemma

Baileyho lemma říká, že pokud (α_n, β_n) je Baileyův pár, pak také je (α '_n, β '_n) kde

${ displaystyle alpha _ {n} ^ { prime} = { frac {( rho _ {1}; q) _ {n} ( rho _ {2}; q) _ {n} (aq / rho _ {1} rho _ {2}) ^ {n} alpha _ {n}} {(aq / rho _ {1}; q) _ {n} (aq / rho _ {2} ; q) _ {n}}}}$

${ displaystyle beta _ {n} ^ { prime} = součet _ {j geq 0} { frac {( rho _ {1}; q) _ {j} ( rho _ {2}; q) _ {j} (aq / rho _ {1} rho _ {2}; q) _ {nj} (aq / rho _ {1} rho _ {2}) ^ {j} beta _ {j}} {(q; q) _ {nj} (aq / rho _ {1}; q) _ {n} (aq / rho _ {2}; q) _ {n}}}. }$

Jinými slovy, vzhledem k jednomu páru Baileyových lze vytvořit sekundu pomocí výše uvedených vzorců. Tento proces lze iterovat a vytvořit nekonečnou sekvenci Baileyových párů, která se nazývá a Baileyho řetězec.

Příklady

Příklad dvojice Bailey je dán (Andrews, Askey & Roy 1999, str. 590)

${ displaystyle alpha _ {n} = q ^ {n ^ {2} + n} součet _ {j = -n} ^ {n} (- 1) ^ {j} q ^ {- j ^ {2 }}, quad beta _ {n} = { frac {(-q) ^ {n}} {(q ^ {2}; q ^ {2}) _ {n}}}.}$

L. J. Slater  (1952 ) poskytl seznam 130 příkladů souvisejících s Baileyovými páry.

Reference

• Andrews, George E. (1984), „Více sérií identit typu Rogers-Ramanujan“, Pacific Journal of Mathematics, 114 (2): 267–283, doi:10.2140 / pjm.1984.114.267, ISSN  0030-8730, PAN  0757501
• Andrews, George E.; Askey, Richarde; Roy, Ranjan (1999), Speciální funkceEncyklopedie matematiky a její aplikace, 71, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-62321-6, PAN  1688958
• Bailey, W. N. (1947), „Některé identity v kombinatorické analýze“, Proceedings of the London Mathematical Society, Druhá série, 49 (6): 421–425, doi:10,1112 / plms / s2-49,6,421, ISSN  0024-6115, PAN  0022816
• Bailey, W. N. (1948), „Identity typu Rogers-Ramanujan“, Proc. London Math. Soc., s2-50 (1): 1–10, doi:10.1112 / plms / s2-50.1.1
• Paule, Peter, Koncept řetězů Bailey (PDF)
• Slater, L. J. (1952), „Další identity typu Rogers-Ramanujan“, Proceedings of the London Mathematical Society, Druhá série, 54 (2): 147–167, doi:10.1112 / plms / s2-54.2.147, ISSN  0024-6115, PAN  0049225
• Warnaar, S. Ole (2001), „50 let Baileyho lemmatu“, Algebraická kombinatorika a aplikace (Gössweinstein, 1999) (PDF), Berlín, New York: Springer-Verlag, s. 333–347, PAN  1851961