Axialita a kosočtverec - Axiality and rhombicity

v fyzika a matematika, axialita a kosočtverec jsou dvě vlastnosti a symetrický druhé místo tenzor v trojrozměrném Euklidovský prostor, popisující jeho směrovou asymetrii.

Nechat A značí tenzor druhého řádu v R³, což může být reprezentováno číslem 3 ku 3 matice. To předpokládáme A je symetrický. To z toho vyplývá A má tři skutečné vlastní čísla, které označujeme ${ displaystyle A_ {xx}}$, ${ displaystyle A_ {yy}}$ a ${ displaystyle A_ {zz}}$. Předpokládáme, že jsou objednáni tak

${ displaystyle A_ {xx} leq A_ {yy} leq A_ {zz}.}$

Axialita A je definováno

${ displaystyle Delta A = 2A_ {zz} - (A_ {xx} + A_ {yy}). ,}$

Kosočtverec je rozdíl mezi nejmenší a druhou nejmenší vlastní hodnotou:

${ displaystyle delta A = A_ {yy} -A_ {xx}. ,}$

Jiné definice axiality a kosočtverce se liší od výše uvedených definicí konstantních faktorů, které závisí na kontextu. Například když je použijete jako parametry v neredukovatelné sférické expanzi tenzoru, je nejvhodnější rozdělit výše uvedenou definici axiality o ${ displaystyle { sqrt {6}}}$ a to kosočtverec od ${ displaystyle {2}}$.

Aplikace

Popis fyzických interakcí z hlediska axialita a kosočtverec se často vyskytuje v roztočit dynamika a zejména v roztočit relaxační teorie, kde mnoho stopových bilineární interakce Hamiltonians, které mají (vlastní tvar) formu

${ displaystyle { hat {H}} = { hat { vec { mathbf {a}}}} cdot mathbf {A} cdot { hat { vec { mathbf {b}}}} = A_ {xx} { hat {a}} _ {x} { hat {b}} _ {x} + A_ {yy} { hat {a}} _ {y} { hat {b}} _ {y} + A_ {zz} { hat {a}} _ {z} { hat {b}} _ {z}}$

(klobouky označují operátory projekce rotace) lze pohodlně otáčet pomocí neredukovatelných sférických tenzorů úrovně 2:

${ displaystyle { hat { vec { mathbf {a}}}} cdot mathbf {A} cdot { hat { vec { mathbf {b}}}} = { frac { delta A } {2}} { hat {T}} _ {2, -2} + { frac { delta A} {2}} { hat {T}} _ {2,2} + { frac { Delta A} { sqrt {6}}} { hat {T}} _ {2, -2}}$

${ displaystyle { hat { hat {R}}} _ { alpha, beta, gamma} ({ hat {T}} _ {l, m}) = součet _ {k = -2} ^ {2} { hat {T}} _ {l, k} { mathfrak {D}} _ {k, m} ^ {(l)} ( alpha, beta, gamma)}$

kde ${ displaystyle { mathfrak {D}} _ {k, m} ^ {(l)} ( alpha, beta, gamma)}$ jsou funkce Wigner, ${ displaystyle ( alfa, beta, gama)}$ jsou Eulerovy úhly a výrazy pro neredukovatelné sférické tenzorové operátory 2. úrovně jsou:

${ displaystyle { hat {T}} _ {2,2} = + { frac {1} {2}} { hat {a}} _ {+} { hat {b}} _ {+} }$

${ displaystyle { hat {T}} _ {2,1} = - { frac {1} {2}} ({ hat {a}} _ {z} { hat {b}} _ {+ } + { hat {a}} _ {+} { hat {b}} _ {z})}$

${ displaystyle { hat {T}} _ {2,0} = + { sqrt { frac {2} {3}}} ({ hat {a}} _ {z} { hat {b} } _ {z} - { frac {1} {4}} ({ hat {a}} _ {+} { hat {b}} _ {-} + { hat {a}} _ {- } { hat {b}} _ {+}))}$

${ displaystyle { hat {T}} _ {2, -1} = + { frac {1} {2}} ({ hat {a}} _ {z} { hat {b}} _ { -} + { hat {a}} _ {-} { hat {b}} _ {z})}$

${ displaystyle { hat {T}} _ {2, -2} = + { frac {1} {2}} { hat {a}} _ {-} { hat {b}} _ {- }}$

Definování hamiltonovských rotací tímto způsobem (axialita, kosočtverec, tři úhly) významně zjednodušuje výpočty, protože vlastnosti Wignerových funkcí jsou dobře známy.

Reference

D.M. Brink a G.R. Satchler, Moment hybnosti, 3. vydání, 1993, Oxford: Clarendon Press.

D.A. Varshalovič, A.N. Moskalev, V.K. Khersonski, Kvantová teorie momentu hybnosti: neredukovatelné tenzory, sférické harmonické, vektorové vazební koeficienty, symboly 3 nj, 1988, Singapur: World Scientific Publications.

Kuprov, N. Wagner-Rundell, P. J. Hore, J. Magn. Reson., 2007 (184) 196-206. Článek