Věta o ploše (konformní mapování) - Area theorem (conformal mapping)

V matematický teorie konformní mapování, věta o plošedává nerovnost spokojeni výkonová řada koeficienty Věta se nazývá tímto jménem ne kvůli jeho implikacím, ale spíše proto, že důkaz používá pojem plocha.

Prohlášení

Předpokládejme to ${displaystyle f}$ je analytický a injekční v propíchnutémotevřeno jednotka disku${displaystyle mathbb {D} setminus {0}}$ a má reprezentaci mocninných řad

${displaystyle f (z) = {frac {1} {z}} + součet _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} z ^ {n}, qquad zin mathbb {D} setminus {0},}$

pak koeficienty ${displaystyle a_ {n}}$ uspokojit

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} n | a_ {n} | ^ {2} leq 1.}$

Důkaz

Myšlenkou důkazu je podívat se na oblast odkrytou obrazem ${displaystyle f}$. Definujte pro ${displaystyle rin (0,1)}$

${displaystyle gamma _ {r} (heta): = f (r, e ^ {- i heta}), qquad heta in [0,2pi].}$

Pak ${displaystyle gamma _ {r}}$ je jednoduchá uzavřená křivka v rovině ${displaystyle D_ {r}}$ označuje jedinečnou ohraničenou připojenou komponentu${displaystyle mathbb {C} setminus gamma [0,2pi]}$. Existence a jedinečnost ${displaystyle D_ {r}}$ vyplývá z Jordanova věta o křivce.

Li ${displaystyle D}$ je doména v rovině, jejíž hraniceje a hladký jednoduchá uzavřená křivka ${displaystyle gamma}$,pak

${displaystyle mathrm {area} (D) = int _ {gamma} x, dy = -int _ {gamma} y, dx ,,}$

pokud ${displaystyle gamma}$ je pozitivně orientované kolem ${displaystyle D}$To snadno vyplývá například z Greenova věta Jak brzy uvidíme, ${displaystyle gamma _ {r}}$ je pozitivně orientován kolem${displaystyle D_ {r}}$ (a to je důvod pro znaménko minus v definici ${displaystyle gamma _ {r}}$). Po aplikaci řetězové pravidlo a vzorec pro ${displaystyle gamma _ {r}}$, výše uvedené výrazy pro danou oblast

${displaystyle mathrm {area} (D_ {r}) = int _ {0} ^ {2pi} Re {igl (} f (re ^ {- i heta}) {igr)}, Im {igl (} -i, r, e ^ {- i heta}, f '(re ^ {- i heta}) {igr)}, d heta = -int _ {0} ^ {2pi} Im {igl (} f (re ^ {- i heta}) {igr)}, Re {igl (} -i, r, e ^ {- i heta}, f '(re ^ {- i heta}) {igr)} d heta.}$

Proto je oblast ${displaystyle D_ {r}}$ také se rovná průměru dvou výrazů na pravé straně. Po zjednodušení to přináší

${displaystyle mathrm {area} (D_ {r}) = - {frac {1} {2}}, Re int _ {0} ^ {2pi} f (r, e ^ {- i heta}), {overline { r, e ^ {- i heta}, f '(r, e ^ {- i heta})}}, d heta,}$

kde ${displaystyle {overline {z}}}$ označuje komplexní konjugace. Jsme si stanovili ${displaystyle a _ {- 1} = 1}$ a použít rozšíření výkonové řady pro ${displaystyle f}$, dostat

${displaystyle mathrm {area} (D_ {r}) = - {frac {1} {2}}, Re int _ {0} ^ {2pi} součet _ {n = -1} ^ {infty} součet _ {m = -1} ^ {infty} m, r ^ {n + m}, a_ {n}, {overline {a_ {m}}}, e ^ {i, (mn), heta}, d heta,.}$

(Od té doby ${displaystyle int _ {0} ^ {2pi} součet _ {n = -1} ^ {infty} součet _ {m = -1} ^ {infty} m, r ^ {n + m}, | a_ {n} |, | a_ {m} |, d heta$ přeskupení podmínek je oprávněné.) Nyní si povšimněte ${displaystyle int _ {0} ^ {2pi} e ^ {i, (m-n), heta}, d heta}$ je ${displaystyle 2pi}$ -li ${displaystyle n = m}$a jinak je nula. Proto dostaneme

${displaystyle mathrm {area} (D_ {r}) = - pi součet _ {n = -1} ^ {infty} n, r ^ {2n}, | a_ {n} | ^ {2}.}$

Oblast ${displaystyle D_ {r}}$ je jasně pozitivní. Proto je pravá strana pozitivní. Od té doby ${displaystyle a _ {- 1} = 1}$tím, že to necháme ${displaystyle r o 1}$následuje věta.

Zbývá jen ospravedlnit tvrzení, že ${displaystyle gamma _ {r}}$ je pozitivně orientován na okolí ${displaystyle D_ {r}}$. Nechat ${displaystyle r '}$ uspokojit ${displaystyle r$a nastavit${displaystyle z_ {0} = f (r ')}$, řekněme. Pro velmi malé ${displaystyle s> 0}$, můžeme napsat výraz pro číslo vinutí z ${displaystyle gamma _ {s}}$ kolem ${displaystyle z_ {0}}$, a ověřte, že se rovná ${displaystyle 1}$. Od té doby, ${displaystyle gamma _ {t}}$ neprochází ${displaystyle z_ {0}}$ když ${displaystyle teq r '}$(tak jako ${displaystyle f}$ je injective), invariance čísla vinutí pod homotopií v doplňku ${displaystyle z_ {0}}$znamená, že počet vinutí${displaystyle gamma _ {r}}$ kolem ${displaystyle z_ {0}}$ je také ${displaystyle 1}$To z toho vyplývá ${displaystyle z_ {0} v D_ {r}}$ a to ${displaystyle gamma _ {r}}$je pozitivně orientován kolem ${displaystyle D_ {r}}$, podle potřeby.

Použití

Nerovnosti uspokojené koeficienty výkonové řady konformních zobrazení byly pro matematiky před řešením Bieberbach dohad. Věta o oblasti je v tomto kontextu ústředním nástrojem. Plošná věta je navíc často používána k prokázání Koebeho věta 1/4, což je velmi užitečné při studiu geometrie konformních zobrazení.

Reference

• Rudin, Walter (1987), Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.), New York: McGraw-Hill Book Co., ISBN  978-0-07-054234-1, PAN  0924157, OCLC  13093736