Arcsine zákony (Wiener proces) - Arcsine laws (Wiener process)
v teorie pravděpodobnosti, arcsine zákony jsou souborem výsledků pro jednorozměrné náhodné procházky a Brownův pohyb ( Wienerův proces ). Nejznámější z nich se připisuje Paul Lévy (1939 ).
Všechny tři zákony vztahují vlastnosti cesty Wienerova procesu k arcsine distribuce. Náhodná proměnná X na [0,1] je arcsine distribuováno, pokud
Prohlášení o zákonech
Po celou dobu předpokládáme, že (Žt)0 ≤ t ≤ 1 ∈ R je jednorozměrný Wienerův proces na [0,1]. Měřítko invariance zajišťuje, že výsledky lze zobecnit na běžící procesy Wiener t ∈[0,∞).
První (Lévyho) arkusinový zákon
První zákon arcsine uvádí, že podíl času, který je jednorozměrný Wienerův proces pozitivní, následuje po arcsinově rozdělení. Nechat
být opatření množiny časů v [0,1], kdy je proces Wiener pozitivní. Pak je arcsine distribuován.
Druhý arkusinový zákon
Druhý zákon arcsine popisuje distribuci posledního znaménka změn procesu Wiener. Nechat
být čas poslední nuly. Pak L je arcsine distribuován.
Třetí arkusinový zákon
Třetí zákon arcsine uvádí, že čas, kdy Wienerův proces dosáhne svého maxima, je arcsine distribuován.
Prohlášení zákona se opírá o skutečnost, že Wienerův proces má téměř jistě jedinečná maxima,[1] a tak můžeme definovat náhodnou proměnnou M což je čas, kdy je dosaženo maxim. tj. jedinečný M takhle
Pak M je arcsine distribuován.
Rovnocennost druhého a třetího zákona
Definování běžícího maximálního procesu Mt Wienerova procesu
pak zákon Xt = Mt − Žt má stejný zákon jako odražený Wienerův proces |Bt| (kde Bt je Wienerův proces nezávislý na Žt).[1]
Protože nuly B a |B| shodovat, poslední nula X má stejnou distribuci jako L, poslední nula Wienerova procesu. Poslední nula X nastane přesně kdy Ž dosahuje svého maxima.[1] Z toho vyplývá, že druhý a třetí zákon jsou rovnocenné.
Poznámky
Reference
- Lévy, Paul (1939), „Sur certains processus stochastiques homogènes“, Compositio Mathematica, 7: 283–339, ISSN 0010-437X, PAN 0000919
- Morters, Peter & Peres, Yuval (2010). Brownův pohyb. 30. Cambridge University Press.
- Rogozin, B. A. (2001) [1994], „Arcsineův zákon“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS