Funkce Arakawa – Kaneko zeta - Arakawa–Kaneko zeta function

v matematika, Funkce Arakawa – Kaneko zeta je zobecněním Funkce Riemann zeta který generuje speciální hodnoty polylogaritmus funkce.

Definice

Funkce zeta ${ displaystyle xi _ {k}}$ je definováno

${ displaystyle xi _ {k} (s) = { frac {1} { gama (y)}} int _ {0} ^ {+ infty} { frac {t ^ {s-1} } {e ^ {t} -1}} mathrm {Li} _ {k} (1-e ^ {- t}) , dt }$

kde Li_k je k-tý polylogaritmus

${ displaystyle mathrm {Li} _ {k} (z) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n ^ {k}}}}. .}$

Vlastnosti

Integrál konverguje pro ${ displaystyle Re (s)> 0}$ a ${ displaystyle xi _ {k}}$ má analytické pokračování do celé složité roviny jako celá funkce.

Zvláštní případ k = 1 dává ${ displaystyle xi _ {1} (s) = s zeta (s + 1)}$ kde ${ displaystyle zeta}$ je Riemannova zeta funkce.

Zvláštní případ s = 1 pozoruhodně také dává ${ displaystyle xi _ {k} (1) = zeta (k + 1)}$ kde ${ displaystyle zeta}$ je Riemannova zeta funkce.

Hodnoty v celých číslech souvisí s funkce více zeta hodnoty o

${ displaystyle xi _ {k} (m) = zeta _ {m} ^ {*} (k, 1, ldots, 1)}$

kde

${ displaystyle zeta _ {n} ^ {*} (k_ {1}, tečky, k_ {n-1}, k_ {n}) = součet _ {0$

Reference

• Kaneko, Masanobou (1997). "Poly-Bernoulliho čísla". J. Théor. Nombres Bordx. 9: 221–228. Zbl  0887.11011.
• Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999). "Více hodnot zeta, poly-Bernoulliho čísla a související funkce zeta". Nagojská matematika. J. 153: 189–209. PAN  1684557. Zbl  0932.11055.
• Coppo, Marc-Antoine; Candelpergher, Bernard (2010). "Funkce Arakawa – Kaneko zeta". Ramanujan J. 22: 153–162. Zbl  1230.11106.