Anomální zrušení - Anomalous cancellation

An anomální zrušení nebo náhodné zrušení je zvláštní druh aritmetický procedurální chyba, která dává numericky správnou odpověď. Došlo k pokusu o snížit A zlomek zrušením jednotlivce číslice v čitatel a jmenovatel. Toto není legitimní operace a obecně nedává správnou odpověď, ale v některých vzácných případech je výsledek numericky stejný, jako kdyby byl použit správný postup.^[1] Triviální případy zrušení koncových nul nebo kde jsou všechny číslice stejné, jsou ignorovány.

Mezi příklady anomálních zrušení, která stále přinášejí správný výsledek, patří (tyto a jejich inverze jsou všechny případy v základně 10 se zlomkem odlišným od 1 a dvěma číslicemi):

${displaystyle {frac {19} {95}} = {frac {1 !! {ot 9}} {ot 95}} = {frac {1} {5}}}$
${displaystyle {frac {16} {64}} = {frac {1 !! {ot 6}} {ot 64}} = {frac {1} {4}}}$
${displaystyle {frac {26} {65}} = {frac {2 !! {ot 6}} {ot 65}} = {frac {2} {5}}}$
${displaystyle {frac {49} {98}} = {frac {4 !! {ot 9}} {ot 98}} = {frac {4} {8}} = {frac {1} {2}}.}$ ^[2]

Článek od Boas analyzuje dvouciferné případy v základny jiný než základna 10 např. 32/13 = 2/1 a jeho inverze jsou jedinými řešeními v základně 4 se dvěma číslicemi.^[2]

K anomálnímu zrušení dochází také u více číslic, např. 165/462 = 15/42 a ti s různým počtem číslic (98/392 = 8/32).

Základní vlastnosti

Když je základna na vrcholu, neexistují žádná dvouciferná řešení. To lze dokázat rozporem: předpokládejme, že existuje řešení, a bez ztráty obecnosti můžeme říci, že toto řešení je

${displaystyle {frac {a || b} {c || a}} = {frac {b} {c}}}$

kde řádek označuje zřetězení číslic. Tak to máme

${displaystyle {frac {ap + b} {cp + a}} = {frac {b} {c}} znamená (a-b) cp = b (a-c)}$

Ale ${displaystyle p> a, b, a-c}$ protože jsou číslice v základně ${displaystyle p}$ dosud ${displaystyle p | b (a-c)}$ což znamená, že ${displaystyle a = c}$ pravá strana je tedy nulová, což znamená, že levá strana musí být také nulová, tj. ${displaystyle a = b}$ rozpor.

Další vlastností je, že počet řešení v základně ${displaystyle n}$ je zvláštní kdyby a jen kdyby ${displaystyle n}$ je sudý čtverec. To lze dokázat podobně jako výše: předpokládejme, že máme řešení

${displaystyle {frac {a || b} {c || a}} = {frac {b} {c}}}$

Pak provedeme stejnou manipulaci, kterou dostaneme

${displaystyle {frac {an + b} {cn + a}} = {frac {b} {c}} znamená (a-b) cn = b (a-c)}$

Předpokládejme to ${displaystyle a> b, c}$ . Pak si to povšimněte ${displaystyle a, b, c o a, a-c, a-b}$ je také řešením rovnice. Toto téměř nastavuje involuce ze sady řešení pro sebe, ale problém nastane, když ${displaystyle b = a-c, c = a-b}$ . V tomto případě můžeme dosadit, abychom dostali ${displaystyle (a-b) ^ {2} n = b ^ {2}}$ takže toto má řešení pouze tehdy, když ${displaystyle n}$ je čtverec. Nechat ${displaystyle n = k ^ {2}}$ . Úhel zakořenění a přeskupení výnosů ${displaystyle ak = (k + 1) b}$ . Protože největší společný dělitel z ${displaystyle k, (k + 1)}$ je jedna, víme to ${displaystyle a = (k + 1) x, b = kx}$ . Všímat si toho ${displaystyle a, b$ , toto má přesně ta řešení ${displaystyle x = 1,2,3, ldots, k-1}$ tj. má lichý počet řešení, když ${displaystyle n = k ^ {2}}$ je sudý čtverec. The konverzovat prohlášení lze prokázat konstatováním, že všechna tato řešení splňují původní požadavky.

Viz také

Matematický vtip

Reference

^ Weisstein, Eric W. „Anomální zrušení“. MathWorld.
^ ^A ^b Boas, R. P. „Anomální zrušení.“ Ch. 6 palců Matematické švestky (Ed. R. Honsberger). Washington DC: Matematika. Doc. Amer., str. 113 - 129, 1979.

[1] Weisstein, Eric W. „Anomální zrušení“. MathWorld.

[boas-2] A ^b Boas, R. P. „Anomální zrušení.“ Ch. 6 palců Matematické švestky (Ed. R. Honsberger). Washington DC: Matematika. Doc. Amer., str. 113 - 129, 1979.

[1]

[2]